Calculo II para estudiantes de ingenieria /

CONTENIDO

1. FUNCIONES VECTORIALES

1 Conceptos básicos

1.1 Funciones vectoriales y ecuaciones paramétricas

1.2 Limite y continuidad

3

1.3 Derivada: definición y teoremas básicos

3

1.4 Integral de una función vectorial

5

1.5 Movimiento curvilineo

1.6 Vectores tangente, normal y binormal unitarios

8

2 Geometría de curvas y movimiento curvilineo

2.1 Longitud de arco

Parametrización por longitud de arco

12

12

17

2.2 Curvatura

19

Definición y cálculo de la curvatura

19

Curvatura en coordenadas polares

22

Circulo oseulador

23

Evoluta: definición y ecuación vectorial

25

2.3 Movimiento: componentes ortogonales de la velocidad y la aceleración

28

Componentes tangencial y normal

28

Componentes radial y transversal

30

2.4 Torsión y fórmulas de Serret y Frenet

32

Problemas resueltos

35

Problemas propuestos

43

II. FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES

3 Función real de variable real

47

3.1 Conceptos básicos

47

Derivadas parciales

48

Derivadas de orden superior

51

Incremento y diferencial

52

3.2 Regla de la cadena y vector gradiente

57
Derivada direccional

El gradiente como máxima razón de cambio

3.3 Plano tangente, serie de Taylor y valores extremos

Plano tangente

Valores extremos y la serie de Taylor

Multiplicadores de Lagrange

4 Campos vectoriales: cálculo diferencial

4.1 Campos vectoriales: conceptos básicos

Función vectorial de variable vectorial

Transformaciones

Curvas y superficies coordenadas

Jacobiano de una transformación

Regla de la cadena

Derivación implicita

4.2 Operadores diferenciales

Operador "nabla"

Divergencia y rotacional

Laplaciano

Identidades vectoriales

4.3 Área de una superficie

Superficie de revolución

60

61

64

64

69

74

78

78

78

80

81

84

85

87

87

87

88

89

90

92

93

Área de una superficie definida por z = f(x,y),

(x,y) ∈ A

95

Área de una superficie definida por x = f(u,v), (u,v) € D

99

Problemas resueltos

103

Problemas propuestos

115

III. INTEGRALES MÚLTIPLES

5 Integral doble

121

5.1 Coordenadas rectangulares: región rectangular

121

5.2 Coordenadas rectangulares: región general

127

5.3 Área de una región plana

131

5.4 Masa de una placa y elección de la contribución elemental

134

136

5.5 Coordenadas polares
5.6 Otras aplicaciones de la integral doble

139

Momentos de primer orden: centro de gravedad y centroide

139

6 Integrales triples

145

6.1 Diferencial de volumen e integral triple

145

6.2 Coordenadas cilíndricas y esféricas

149

6.3 Aplicaciones

154

7 Cambio de variable en integrales múltiples

158

7.1 Cambio de variable en una integral doble

7.2 Cambio de variable en una integral triple

159

159

PRESENTACIÓN

La presente obra es continuación del Cálculo para estudiantes de Ingenieria, publicado por la Fundación ICA, en agosto de 1997, el cual, desde entonces, ha sido utilizado por la mayoría de los profesores que imparten el primer curso de Cálculo en la Facultad de Ingenieria de la Universidad Autónoma del Estado de México (FIUAEM).

Los temas que se incluyen en este libro corresponden al programa de la asignatura Cálculo II, que, a partir del semestre actualmente en curso, se ofrece en la FIUAEM y en las Unidades Académicas de la UAEM que cuentan con alguna de las carreras de ingeniería (civil, mecánica, en computación o electrónica).

Agradezco a todos aquellos que hicieron posible la publicación de esta obra, particularmente al Ing. Fernando Luna, director ejecutivo de la Fundación ICA y al Ing Angel Albiter, director de la FIUAEM.

Asimismo, agradezco también a todos aquellos compañeros profesores y estudiantes de la FIUAEM, por sus sugerencias y comentarios. En particular quiero agradecer a Tito por sus valiosas sugerencias, a Cynthia por su gran ayuda en la corrección de estilo, y a Araceli, lan y Maricela su colaboración en las versiones preliminares del libro y en la que finalmente aquí se presenta.

A los profesores:

Desde una perspectiva tradicional, resulta demasiado ambicioso pretender incluir en un solo curso semestral es decir, en aproximadamente 70 horas en aula todos los temas que se incluyen en este libro. Esto resulta de la costumbre de ofrecer una presentación exhaustiva de los temas, con una dosis generosa de rigor y dándose además el tiempo para resolver una buena cantidad de problemas en el salón de clase.

Además, por lo general no se cuenta con un libro que se utilice como texto a lo largo de todo el curso; generalmente se espera que el material básico para el aprendizaje, por parte de los estudiantes, sean las notas tomadas en clase. En estas condiciones, es frecuente que los estudiantes inviertan la mayor parte del tiempo en aula, copiando todo aquello que el profesor escribe en el pizarrón.

Este libro se escribió con la intención de proporcionar una presentación sencilla -pero congruente de los teras, de manera que los estudiantes se liberen de esa actividad de copíado. En esta edición no se ha incluido, aún, una cantidad suficientemente grande de problemas de ciencias básicas mecánica, electromagnetismo y termodinámica, cuya solución requiere de la aplicación de los conceptos del cálculo que aquí se estudian.

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