TEORIA Y PROBLEMAS DE TEORIA DE CONJUNTOS Y TEMAS AFINES /

Capítulo 1 CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS
Conjuntos. Notación. Conjuntos finitos e infinitos. Igualdad de conjuntos. Conjunto vacio. Subconjuntos. Subconjunto propio. Comparabilidad. Teorema y demostración. Conjuntos de conjuntos. Conjunto universal. Conjunto potencia. Conjuntos
disjuntos. Diagramas de Venn-Euler. Diagramas lineales. Desarrollo axiomático de
la teoría de conjuntos.
Capitulo 2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS.
Operaciones con conjuntos. Unión. Intersección. Diferencia. Complemento. Operaciones con conjuntos comparables.
Capítulo 3 CONJUNTOS DE NUMEROS
Capítulo 4
Capitulo
Pag.
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17
30
Conjuntos de números. Números reales. Enteros. Numeros racionales. Números
naturales. Números irracionales. Diagrama lineal de los sistemas numéricos. Decimales y números reales. Desigualdades. Valor absoluto. Intervalos. Propiedades de
los intervalos. Intervalos infinitos. Conjuntos acotados y no acotados.
FUNCIONES
Definición. Aplicaciones, operadores, transformaciones. Funciones iguales. Dominio de imágenes de una función. Funciones inyectivas. Funciones sobreyectivas.
Función idéntica. Funciones constantes. Función producto composición. Asociatividad de productos de funciones. Imagen reciproca de una función. Función reciproca. Teorema sobre la función reciproca.
5 CONJUNTOS PRODUCTO Y GRAFOS DE FUNCIONES.
Pares ordenados. Conjunto producto. Diagramas de coordenadas. Grafo de una
función. Grafos y diagramas de coordenadas. Las funciones como conjuntos de
pares ordenados. Conjuntos productos generalizados.
45
66
Capitulo 6 RELACIONES
Enunciados formales. Relaciones. Conjuntos de solución y grafos de relaciones.
Relaciones como conjuntos de pares ordenadas. Relaciones recíprocas. Relaciones
reflexivas. Relaciones simétricas. Relaciones antisimétricas. Relaciones transitivas.
Relaciones de equivalencia. Dominio de definición y dominio de imágenes de una
relación. Relaciones y funciones.
Capitulo 7 COMPLEMENTOS A LA TEORIA DE CONJUNTOS.
Algebra de conjuntos. Principio de dualidad. Conjuntos indizados. Operaciones
generalizadas. Particiones. Relacionos de equivalencia y particiones.
Capítulo 8 COMPLEMENTOS A LA TEORIA DE FUNCIONES, OPERACIONES.
Funciones y diagramas. Funciones de conjunto. Funciones numéricas reales. Algebra de las funciones numéricas reales. Regla del máximo dominio. Funciones
características. Funciones de elección. Operaciones. Operaciones conmutativ s.
Operaciones asociativas. Operaciones distributivas. Elemento neutro. Elementos
simétricos. Operaciones y subconjuntos.
81
104
116
Parte II
Cardinales, ordinales, inducción transfinita
Pag.
Capítulo 9 NUMEROS CARDINALES. 134
Conjuntos equipotentes. Conjuntos enumerables. El continuo. Números cardinales.
Aritmética cardinal. Desigualdades y números cardinales. Teorema de Cantor.
Teorema de Schröder-Bernstein. Hipótesis del continuo.
Capítulo 10 CONJUNTOS PARCIAL Y TOTALMENTE ORDENADOS.... 150
Conjuntos parcialmente ordenados. Conjuntos totalmente ordenados. Subconjuntos de conjuntos ordenados. Subconjuntos totalmente ordenados. Primero y último
elementos. Elementos maximal y minimal. Mayorantes y minorantes. Conjuntos
isomorfos. Tipos ordinales.
Capítulo 11 CONJUNTOS BIEN ORDENADOS. NUMEROS ORDINALES.... 166
Conjuntos bien ordenados. Inducción transfinita. Elementos límite. Sección inicial.
Isomorfismo entre un conjunto bien ordenado y sus subconjuntos. Comparación
de conjuntos bien ordenados. Números ordinales. Desigualdades y números ordinales. Adición ordinal. Multiplicación ordinal. Estructura de los números ordinales.
Construcción auxiliar de los números ordinales.
Capítulo 12 AXIOMA DE ELECCION. LEMA DE ZORN. TEOREMA DE LA
BUENA ORDENACION. 179
Productos cartesianos y funciones de elección. Axioma de elección. Lema de Zorn.
Teorema de la buena ordenación. Números cardinales y ordinales. Alefs.
Capítulo 13 PARADOJAS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS. 185
Introducción. Conjuntos de todos los conjuntos (paradoja de Cantor). Paradoja de
Russell. Conjunto de todos los números ordinales (paradoja de Burali-Forti). Conjunto de todos los números cardinales. Familia de todos los conjuntos equipotentes
a un conjunto. Familia de todos los conjuntos isomorfos a un conjunto bien ordenado.
Parte III
Temas anexos
Capitulo 14 ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Enunciados. Conjunción. Disyunción. Negación. Condicional. Bicondicional. Polinomios y polinomios boolianos. Proposiciones y tablas de verdad. Tautologías y
contradicción. Equivalencia lógica. Algebra de proposiciones. Implicación lógica.
Enunciados lógicamente verdaderos y lógicamente equivalentes.
CUANTIFICADORES
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Capítulo 15 208
Funciones lógicas y conjuntos de validez. Cuantificador universal. Cuantificador
existencial. Negación de proposiciones que contienen cuantificadores. Contraejemplo. Notación. Funciones lógicas que contienen más de una variable.
Capítulo 16 ALGEBRA BOOLIANA. 216
Definición. Dualidad en un álgebra booliana. Teoremas fundamentales. Orden de
un álgebra booliana. Diseños de circuitos conmutadores.
Capítulo 17 RAZONAMIENTO LOGICO. 225
Argumentos. Argumentos y diagramas de Venn. Argumentos y proposiciones. Argumentos y cuantificadores. Enunciados condicionales y variaciones.
INDICE. 232

La teoría de conjuntos se encuentra en los fundamentos de la matemática, que, explícita o impli- citamente, en todas sus ramas, utiliza conceptos de la citada teoría, tales como los de función y
relación.
Este texto, que no es un tratado riguroso, axiomático, de la teoría de conjuntos, se divide en tres
partes, de tal manera que, sin perturbar la exposición lógica de los conceptos, resulta tanto más útil
como texto o como libro de consulta, a distintos niveles. La Parte I contiene una introducción a las ope- raciones elementales con conjuntos y un estudio detallado de los conceptos de función y de relación. La Parte II desarrolla la teoría de los números cardinales y de los ordinales, a la manera clásica de Cantor;
trata también de los conjuntos parcialmenté ordenados y del axioma de elección y sus equivalentes, incluyendo el lema de Zorn. La Parte III abarca temas que, por lo común, se presentan asociados a la teoría elemental de conjuntos.
Naturalmente, la exposición peculiar de ciertos temas acusa la influencia de las preferencias del
autor; así, por ejemplo, introduce las funciones antes que las relaciones y no las define al principio
como conjuntos de pares ordenados. Cada capítulo comienza con enunciados claros de oportunas de- finiciones, principios y teoremas, junto con material aclaratorio y descriptivo; a esto sigue una relación de problemas de creciente dificultad, unos resueltos y otros solo enunciados. Los primeros ilustran y amplían la teoría, poniendo de relieve aquellos detalles sin los cuales el estudiante se siente constantemente en terreno inseguro y que a la vez dan lugar a la repetición de los principios básicos, tan
esencial para el aprendizaje eficaz. Numerosas demostraciones de teoremas y de consecuencias de los resultados fundamentales quedan incluidas en muchos de los problemas resueltos. Los enunciados
suponen una revisión completa del material de cada capítulo.

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