Cálculo diferencial en varias variables : Problemas y cuestiones tipo test resueltos. Manuel Besada Moráis.

Bibliografía

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Índice general

Prólogo ................................................ XI

1. Topología en los espacios euclídeos

1.1. Introducción teórica ................................................. 1
El espacio . Producto escalar, norma y distancia.
Ortogonalidad y ángulo formado por dos vectores. Topología en .
Sucesiones en
1.2. Problemas resueltos .................................................. 6
1.3. Ejercicios propuestos .............................................. 18

2. Límites y continuidad de funciones de varias variables

2.1. Introducción teórica ................................................ 23
Campos escalares y vectoriales. Límite de una función. Funciones continuas.
Teoremas del punto fijo. Límite de una función según una curva. Límites reiterados
2.2. Problemas resueltos ................................................ 27
2.3. Ejercicios propuestos .............................................. 39

3. Derivadas parciales

3.1. Introducción teórica ................................................ 45
Derivadas direccionales. Derivadas parciales. Derivadas de funciones vectoriales
3.2. Problemas resueltos ................................................ 47
3.3. Ejercicios propuestos .............................................. 57

4. Funciones diferenciables

4.1. Introducción teórica ................................................ 61
Funciones diferenciables. Funciones continuamente diferenciables.
Gradiente de una función. Funciones vectoriales diferenciables
4.2. Problemas resueltos ................................................ 64
4.3. Ejercicios propuestos .............................................. 71

5. Diferenciabilidad de funciones compuestas

5.1. Introducción teórica ................................................ 85
Regla de la cadena. Plano tangente a una superficie. Teorema del valor medio.
Teorema de los incrementos finitos
5.2. Problemas resueltos ................................................ 87
5.3. Ejercicios propuestos ............................................. 101

6. El teorema de Taylor

6.1. Introducción teórica ............................................... 107
Derivadas de orden superior. Diferencial de orden superior. Aproximaciones
polinómicas de funciones. Teorema de Taylor
6.2. Problemas resueltos ................................................ 110
6.3. Ejercicios propuestos ............................................. 126

7. Funciones homogéneas

7.1. Introducción teórica ............................................... 133
Funciones homogéneas. Teorema de Euler. Funciones homotéticas
7.2. Problemas resueltos ................................................ 135
7.3. Ejercicios propuestos ............................................. 144

8. El teorema de la función implícita

8.1. Introducción teórica ............................................... 151
Funciones definidas implícitamente. Teorema de la función implícita.
Teorema de la función inversa
8.2. Problemas resueltos ................................................ 153
8.3. Ejercicios propuestos ............................................. 170

9. Funciones convexas

9.1. Introducción teórica ............................................... 177
Formas cuadráticas. Signo de una forma cuadrática. Conjuntos convexos.
Hiperplanos soporte. Teoremas de separación. Lema de Farkas-Minkowski.
Funciones cóncavas y convexas. Funciones cuasiconvexas y cuasiconcavas
9.2. Problemas resueltos ................................................ 182
9.3. Ejercicios propuestos ............................................. 196

10. Optimización sin restricciones

10.1. Introducción teórica .............................................. 203
Extremos de una función. Condición necesaria de primer orden.
Condición necesaria de segundo orden. Condición suficiente
10.2. Problemas resueltos ................................................ 205
10.3. Ejercicios propuestos ............................................. 218

11. Optimización con restricciones de igualdad

11.1. Introducción teórica .............................................. 223
Teorema de Lagrange. Condición necesaria de segundo orden.
Condición suficiente fuerte. Condición suficiente débil.
Teorema de la envolvente
11.2. Problemas resueltos ................................................ 227
11.3. Ejercicios propuestos ............................................. 251

12. Optimización con restricciones de desigualdad

12.1. Introducción teórica .............................................. 259
Extremos condicionados. Teorema de Kuhn-Tucker. Condición suficiente.
Teorema de la envolvente
12.2. Problemas resueltos ................................................ 262
12.3. Ejercicios propuestos ............................................. 284

13. Integración múltiple

13.1. Introducción teórica .............................................. 291
Integrales dobles sobre rectángulos. Integrales dobles sobre recintos
no rectangulares. Cambio de variable. Integrales de funciones no acotadas.
Integrales en recintos no acotados
13.2. Problemas resueltos ................................................ 295
13.3. Ejercicios propuestos ............................................. 315

Bibliografía ......................................................... 325
Respuestas correctas de los problemas propuestos ............. 327.

Cálculo diferencial en varias variables

Problemas y cuestiones tipo test resueltos

Este libro es un complemento ideal para manejar con soltura los concep-tos de un curso clásico de funciones de varias variables. Está particularmente indicado para los alumnos de los grados de Ciencias, Ingeniería y Ciencias Sociales.

Cada uno de los capítulos consta de:

Resumen teórico breve y completo, al principio de cada tema.

Problemas resueltos que son ejercicios tipo test de respuesta única, seleccionados de forma cuidadosa y resueltos de forma detallada.

Cuestiones tipo test cuya solución se recoge al final del libro.

En la Introducción Teórica se presentan, de modo sucinto, las definiciones, conceptos y resultados que el lector debe conocer para resolver las cuestiones que se propondrán a continuación.

La sección de Problemas Resueltos consta de una extensa colección de

cuestiones tipo test. Todas están resueltas con detalle y presentan cuatro opciones de respuesta, de las cuales sólo una es correcta. Al final de cada capítulo aparece una lista de Cuestiones Test, cuyas respuestas correctas se recogen al final del libro.

El grado de dificultad de las cuestiones es variable. Las hay muy sencillas, mientras que otras deberían suponer un desafío para el lector. Las preguntas van ordenadas atendiendo tanto a su temática como al grado de dificultad desde las más sencillas a las de mayor dificultad. De este modo el lector, siguiendo el desarrollo de los ejercicios resueltos, no encontrará dificultades añadidas para resolver los que se proponen al final de cada capítulo.