Ecuaciones Diferenciales Una Intruduccion a los Metodos Modernos y sus Aplicaciones

ÍNDICE
1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 1
1.0 Introducción 1
1.1 Terminología básica 2
Ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales 2
Ecuaciones diferenciales ordinarias 2
El orden de una ecuación diferencial ordinaria 3
Forma general de una ecuación diferencial ordinaria 3
Ecuaciones en derivadas parciales 4
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y no lineales 4
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 5
1.2 Soluciones de ecuaciones diferenciales 7
Nociones básicas 7
Soluciones implícitas 8
Familias de soluciones I 9
Problemas de valor inicial (PVI) 10
Una forma integral de una solución de un PVI 11
Familias de Soluciones II 12
Problemas de contorno o de valores en la frontera 13
Soluciones generales 16
Soluciones de sistemas de EDO 16
1.3 La tecnología y las ecuaciones diferenciales 24
1.4 Resumen 26
PROYECTO 1-1 27
2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 29
2.0 Introducción 29
2.1 Ecuaciones separables 30
2.2 Ecuaciones lineales 41
El principio de superposición 42
El factor integrante 43
Análisis razonado 44
Problemas de compartimento 47
xiii
Prefacio vii
2.3 Campos de direcciones 56
Ecuaciones autónomas y no autónomas 60
2.4 Líneas de fases y diagramas de fases 67
La ecuación logística 67
2.5 Puntos de equilibrio: sumideros, fuentes y nodos 72
Un test para puntos de equilibrio 73
Test de la derivada 73
2.6 Bifurcaciones 78
Conceptos básicos 78
Aplicación a las ecuaciones diferenciales 79
2.7 Existencia y unicidad de las soluciones 85
Un teorema de existencia y unicidad 87
2.8 Resumen 92
PROYECTO 2-1 94
PROYECTO 2-2 94
3 La aproximación numérica de las soluciones 97
3.0 Introducción 97
3.1 El método de Euler 98
Ecuaciones diferenciales rígidas 107
3.2 Algunas cosas más sobre los errores 112
3.3 El método de Euler mejorado 115
3.4 Métodos numéricos más sofisticados:
Runge-Kutta y otros 119
3.5 Resumen 123
PROYECTO 3-1 124
4 Ecuaciones de segundo orden y de orden superior 126
4.0 Introducción 126
4.1 Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden
con coeficientes constantes 126
La ecuación característica y los valores propios 127
Valores propios reales y distintos 128
Valores propios reales e iguales 129
Valores propios complejos conjugados 130
Resumen 131
4.2 Ecuaciones lineales no homogéneas, de segundo orden,
con coeficientes constantes 134
La estructura de las soluciones 134
La variación de parámetros 137
xiv Índice
4.3 Ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes 142
4.4 Ecuaciones de orden superior y sus sistemas equivalentes 146
Técnica de conversión I: conversión de una ecuación
de orden superior en un sistema 147
Técnica de conversión II: conversión de un sistema
en una ecuación de orden superior 151
Una mirada hacia delante 152
4.5 Análisis cualitativo de los sistemas autónomos 154
Los diagramas de fases para los sistemas de ecuaciones 154
Otras representaciones gráficas 158
Un modelo depredador-presa: las ecuaciones de Lotka-Volterra 162
Otras representaciones gráficas 164
Problemas de masa-resorte 166
Movimiento armónico simple 166
Movimiento libre amortiguado 170
Diferentes tipos de amortiguación 173
Movimiento forzado 173
Resonancia 177
Sistemas tridimensionales 179
4.6 Existencia y unicidad 182
Un teorema de existencia y unicidad 183
Muchas soluciones 184
Ninguna solución 184
Exactamente una solución 184
4.7 Soluciones numéricas 186
El método de Euler aplicado a sistemas 186
El método de Runge-Kutta de cuarto orden para sistemas 188
4.8 Resumen 194
PROYECTO 4-1 197
5 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 199
5.0 Introducción 199
5.1 Sistemas y matrices 200
Matrices y vectores 200
La representación matricial de un sistema lineal 201
Algo de álgebra matricial 202
5.2 Sistemas bidimensionales de ecuaciones
lineales de primer orden 205
Valores propios y vectores propios 205
Interpretación geométrica de los vectores propios 207
El problema general 208
El comportamiento geométrico de las soluciones 211
Índice xv
5.3 Estabilidad de los sistemas lineales:
valores propios reales distintos 217
Valores propios reales distintos 218
La imposibilidad de vectores propios dependientes 219
Valores propios positivos distintos 219
Valores propios negativos distintos 222
Valores propios distintos con signos opuestos 223
Valores propios distintos, un valor propio igual a cero 225
5.4 Estabilidad de los sistemas lineales:
valores propios reales iguales 229
Valores propios iguales y no nulos, dos vectores propios independientes 229
Valores propios iguales y no nulos, un único vector propio independiente 231
Ambos valores propios nulos 234
5.5 Estabilidad de los sistemas lineales:
valores propios complejos 235
Valores propios complejos y vectores propios complejos 235
5.6 Sistemas no homogéneos 243
La solución general 243
El método de los coeficientes indeterminados 244
5.7 Generalizaciones: el caso n 3 n (n # 3) 252
La representación matricial 252
Valores propios y vectores propios 252
Independencia lineal y dependencia lineal 254
Sistemas no homogéneos 259
Generalización a los sistemas de n 3 n 259
5.8 Resumen 267
PROYECTO 5-1 269
PROYECTO 5-2 270
6 La transformada de Laplace 271
6.0 Introducción 271
6.1 La transformada de Laplace
de algunas funciones importantes 272
6.2 La transformada inversa y la convolución 277
La transformada inversa de Laplace 277
La convolución 281
Ecuaciones integrales y ecuaciones integro-diferenciales 283
La transformada de Laplace y las herramientas tecnológicas 285
xvi Índice
6.3 Transformadas de funciones discontinuas 287
La función (escalón unidad) de Heaviside 287
6.4 Transformadas de funciones impulso:
la función Delta de Dirac 294
6.5 Transformadas y sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales 298
6.6 Análisis cualitativo mediante la transformada de Laplace 303
Ecuaciones homogéneas 303
Estabilidad 304
Ecuaciones no homogéneas 306
Funciones de transferencia y funciones de respuesta al impulso 307
6.7 Resumen 309
PROYECTO 6-1 311
7 Sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales 313
7.0 Introducción 313
7.1 Equilibrios de los sistemas no lineales 313
7.2 Aproximación lineal en los puntos de equilibrio 318
Sistemas cuasilineales 320
El teorema de Poincaré-Liapunov 324
7.3 Dos importantes ejemplos de ecuaciones y
sistemas no lineales 332
Ecuaciones de Lotka-Volterra 332
El péndulo no amortiguado 334
7.4 La ecuación de Van der Pol y los ciclos límite 342
La ecuación de Van der Pol 342
Ciclos límite 344
7.5 Resumen 351
PROYECTO 7-1 353
Apéndice A Algunos conceptos y resultados de cálculo 354
Apéndice B Vectores y matrices 364
Apéndice C Números complejos 376
Apéndice D Soluciones en serie de ecuaciones diferenciales 380
Respuestas y sugerencias para ejercicios con numeración impar 393
Índice alfabético 4

este texto de ecuaciones diferenciales está pensado para los alumnos de ciencias e ingeniería que estudian el primer curso de la asignatura y terminaron sus cursos de cálculo diferencial e integral, aunque no hayan tomado aún un curso de álgebra lineal. entre sus principales aciertos, destaca que subraya un método sistemático para llegar al asunto que ocupa un problema determinado e integra el uso de la tecnología moderna de cómputo en el contexto de aplicaciones contemporáneas de ingeniería y ciencias.

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