Ecuaciones Diferenciales / Con Problemas de Valores en la Frontera

CONTENIDO
1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1
Prefacio ix
1.1 Defi niciones y terminología 2
1.2 Problemas con valores iniciales 13
1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 19
REPASO DEL CAPÍTULO 1 32
2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 34
2.1 Curvas solución sin una solución 35
2.1.1 Campos direccionales 35
2.1.2 ED de primer orden autónomas 37
2.2 Variables separables 44
2.3 Ecuaciones lineales 53
2.4 Ecuaciones exactas 62
2.5 Soluciones por sustitución 70
2.6 Un método numérico 75
REPASO DEL CAPÍTULO 2 80
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 82
3.1 Modelos lineales 83
3.2 Modelos no lineales 94
3.3 Modelado con sistemas de ED de primer orden 105
REPASO DEL CAPÍTULO 3 113
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vi O CONTENIDO
4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 117
4.1 Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 118
4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera 118
4.1.2 Ecuaciones homogéneas 120
4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 125
4.2 Reducción de orden 130
4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coefi cientes constantes 133
4.4 Coefi cientes indeterminados: Método de superposición 140
4.5 Coefi cientes indeterminados: Método del anulador 150
4.6 Variación de parámetros 157
4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 162
4.8 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación 169
4.9 Ecuaciones diferenciales no lineales 174
REPASO DEL CAPÍTULO 4 178
5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 181
5.1 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 182
5.1.1 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no amortiguado 182
5.1.2 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre amortiguado 186
5.1.3 Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado 189
5.1.4 Circuito en serie análogo 192
5.2 Modelos lineales: Problema con valores en la frontera 199
5.3 Modelos no lineales 207
REPASO DEL CAPÍTULO 5 216
6.1 Soluciones respecto a puntos ordinarios 220
6.1.1 Repaso de series de potencias 220
6.1.2 Soluciones en series de potencias 223
6.2 Soluciones en torno a puntos singulares 231
6.3 Funciones especiales 241
6.3.1 Ecuación de Bessel 241
6.3.2 Ecuación de Legendre 248
REPASO DEL CAPÍTULO 6 253
6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 219
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CONTENIDO O vii
7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 255
7.1 Defi nición de la transformada de Laplace 256
7.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 262
7.2.1 Transformadas inversas 262
7.2.2 Transformadas de derivadas 265
7.3 Propiedades operacionales I 270
7.3.1 Traslación en el eje s 271
7.3.2 Traslación en el eje t 274
7.4 Propiedades operacionales II 282
7.4.1 Derivadas de una transformada 282
7.4.2 Transformadas de integrales 283
7.4.3 Transformada de una función periódica 287
7.5 La función delta de Dirac 292
7.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 295
REPASO DEL CAPÍTULO 7 300
8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 303
8.1 Teoría preliminar: Sistemas lineales 304
8.2 Sistemas lineales homógeneos 311
8.2.1 Eigenvalores reales distintos 312
8.2.2 Eigenvalores repetidos 315
8.2.3 Eigenvalores complejos 320
8.3 Sistemas lineales no homógeneos 326
8.3.1 Coefi cientes indeterminados 326
8.3.2 Variación de parámetros 329
8.4 Matriz exponencial 334
REPASO DEL CAPÍTULO 8 337
9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 339
9.1 Métodos de Euler y análisis de errores 340
9.2 Métodos de Runge-Kutta 345
9.3 Métodos multipasos 350
9.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior 353
9.5 Problemas con valores en la frontera de segundo orden 358
REPASO DEL CAPÍTULO 9 362
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SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS 363
10.1 Sistemas autónomos 364
10.2 Estabilidad de sistemas lineales 370
10.3 Linearización y estabilidad local 378
10.4 Sistemas autónomos como modelos matemáticos 388
REPASO DEL CAPÍTULO 10 395
11 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER 397
11.1 Funciones ortogonales 398
11.2 Series de Fourier 403
11.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 408
11.4 Problema de Sturm-Liouville 416
11.5 Series de Bessel y Legendre 423
11.5.1 Serie de Fourier-Bessel 424
11.5.2 Serie de Fourier-Legendre 427
REPASO DEL CAPÍTULO 11 430
12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 432
12.1 Ecuaciones diferenciales parciales separables 433
12.2 EDP clásicas y problemas con valores en la frontera 437
12.3 Ecuación de calor 443
12.4 Ecuación de onda 445
12.5 Ecuación de Laplace 450
12.6 Problemas no homogéneos con valores en la frontera 455
12.7 Desarrollos en series ortogonales 461
12.8 Problemas dimensionales de orden superior 466
REPASO DEL CAPÍTULO 12 469
10
viii O CONTENIDO
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CONTENIDO O ix
APÉNDICES
I Función gamma APE-1
II Matrices APE-3
III Transformadas de Laplace APE-21
Respuestas a los problemas seleccionados con numeración impar RES-1
Índice I-1

Este texto guía a los estudiantes a través del material necesario para avanzar al siguiente nivel de estudio; su presentación clara y precisión matemática lo convierten en una excelente herramienta de referencia en futuros cursos. Si bien este texto está probado a lo largo del tiempo y es ampliamente aceptado, se ha mantenido actualizado con la adición de nuevos ejercicios y la presentación mejorada de cuatro colores. Los ejercicios en esta edición se han actualizado para probar y desafiar a los estudiantes.

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