Selección de problemas resueltos-Series de fourier y problemas con valores en la frontera /

Contenido

CAPITULO 1. SERIES DE FOURIER

1.1 Funciones lisas por pedazos, 9

1.2 Series de Fourier, 10

1.3 Series senoidales y cosenoidales de Fourier, 16

1.4 Series cosenoidales y senoidales de periodo te, 25

1.5 Derivación e integración de las series de Fourier, 27

CAPITULO 2.

SOLUCION DE PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA POR MEDIO DE SERIES DE FOURIER

2.1 Introducción, 33

2.2 Problemas homogéneos, 34

2.3 Problemas no homogéneos, 45

CAPITULO 3. INTEGRALES DE FOURIER

3.1 La integral general de Fourier, 55

3.2 Transformadas cosenoidal y senoidal de Fourier, 59

3.3 Solución de problemas con valor en la frontera usando transformadas de Fourier, 62

7

9

33

55
[ 8/ contenido

CAPITULO 4. DESARROLLOS EN SERIE GENERALIZADOS

4.1 Introducción, 71

4.2 Desarrollo en términos de funciones de Legendre,

4.3 Serie de Fourier-Bessel, 80

76

4.4 Teoría de Sturm-Liouville, 81

CAPITULO 5. SOLUCION DE PROBLEMAS CON

VALOR EN LA FRONTERA POR MEDIO DE LOS DESARROLLOS GENERALIZADOS DE FOURIER

5.1 Problemas homogéneos, 87

5.2 Problemas no homogéneos, 96

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

103

APENDICES

107

Apéndice 1. Algunas series de Fourier sencillas, 109

Apéndice 2. Tabla de integrales de Fourier, 110

INDICE ALFABETICO

Series de Fourier

1.1 Funciones lisas por pedazos Se dice que una función f(x) es seccionalmente continua en el intervalo [a, b] (se usará la notación (a, b) para denotar el intervalo cerrado axb) si existe un número finito de puntos x1, x2,..., Xn (a=X₁ <X2...<x=b) tales que f(x) es continua en cada subintervalo x₁<x<x1+1 y tiene límites laterales finitos en los puntos extremos de cada intervalo; estos lími tes izquierdo y derecho se denotarán por f(x_{l} + 0) * yf (x l+1 -0) respec tivamente. Es evidente que incluso f estar definida en los puntos extremos de los subintervalos.

Se dice que una función fes lisa por pedazos en el intervalo [a, b] si tanto como su primera derivada f' son seccionalmente continuas en este intervalo.

Problema 1.1 Demostrar que, en los siguientes ejemplos, f(x) es lisa por pedazos en su intervalo de definición. Determinar los puntos en los que fof' son discontinuas.

(a) f(x)=x+c, (- c <= x <= 0) (b) f(x) = 0 f(x)=c-x, (0 <= x <= c) (0 <= x <= I) f(x) = x,

(- 1 <= x <= 0)

Solución. (a) Obviamente fes continua en cada uno de los interva los - c < x < 0 0 < x < c (0+0)=f(0-0)=c; de donde continua en [-c, c]. Para x < 0 f' = 1y para x > 0 f' = - 1 de aquí que f' es continua cada de los subintervalos - c < x < 0 0 < x < c pero es discontinua en x = 0 f' no está defi-origen tanto f' * (0 + 0) como f'(0-0) existen y son

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