Matemáticas financieras / Guillermo L. Dumrauf

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Incluye referencias bibliográficas.

Contenido

Prefacio .......................................................... XXIII
Destinatarios .................................................. XXIV
Panorámica de la obra ................................... XXV
Reconocimientos ............................................. XXVII

Capítulo 1: Introducción
1.1 ¿Por qué debemos saber matemáticas financieras? . 2
El valor tiempo del dinero: un peso del futuro vale menos que un peso del presente ................ 2
Diferencia entre el interés y la tasa de interés ....... 4
Diferencia entre incremento porcentual y veces en que crece un capital .......................... 4
Tasas de interés e inflación ................................ 4
Tasas de interés y riesgo: un peso con riesgo vale menos que un peso sin riesgo .................. 5
Aplicaciones de las matemáticas financieras en la vida real ........................................... 5

1.2 Revisión de álgebra ........................................... 6
Factor común ..................................................... 6
Pasaje de términos ........................................... 6
Común denominador ........................................ 7
Propiedad distributiva de la multiplicación .......... 7
Potenciación .................................................... 8
Progresiones aritméticas .................................. 9
Progresiones geométricas: ................................ 10
Función exponencial ........................................ 10
La función exponencial natural .......................... 11
Función logarítmica .......................................... 12
Logaritmo natural ............................................. 12
Propiedades de los logaritmos: ......................... 13

Derivadas ........................................................... 14
Cálculo de la tasa de interés instantánea .............. 14

1.3 Contenido de la página Web de apoyo ................. 16

Capítulo 2: Interés simple
2.1 Introducción .................................................... 18
2.2 Monto a interés simple .................................... 18
Marcha del interés simple ................................ 19
Fórmulas derivadas del monto a interés simple ...... 19
Tasa proporcional en el interés simple ............... 21
¿Año de 360 días o año de 365 días? ................ 22
Interés civil y comercial .................................... 22
Ejemplos de aplicación del interés simple en la vida real ....................................................... 23
Análisis de las funciones monto e interés acumulado ....................................................... 24
Análisis del rendimiento efectivo ....................... 26
Plazo medio .................................................... 26
Tasa media ...................................................... 27

2.3 Descuento simple ............................................. 29
Descuento racional y tasa de interés vencida ....... 29
El descuento racional: ..................................... 29
Marcha del descuento racional .......................... 30
Fórmulas derivadas del descuento racional .......... 30
El descuento comercial y la tasa "anticipada" o "adelantada" ....................................................... 31
La operación de descuento en la vida real: la tasa de descuento nominal ............................... 33
Descuento comercial y racional: dos medidas diferentes de una misma operación ............... 34

Cuadro de marcha del descuento comercial ............ 35
Fórmulas derivadas del Descuento Comercial .......... 35
Análisis del descuento comercial .......................... 35
Tiempo que tarda el descuento en anular un capital o documento ............................................... 37
Acerca de la controversia entre "descuento" y "actualización" ....................................................... 37

2.4 Equivalencia de capitales en el régimen simple y reemplazo de pagos ......................... 38
Vencimiento común .......................................... 38
Vencimiento medio ............................................ 39
Un atajo para calcular el vencimiento medio: la tasa no influye en el descuento comercial ....... 40

2.5 Resumen .......................................................... 42
2.6 Preguntas ......................................................... 43
2.7 Problemas ......................................................... 44
Ejercicios de descuento simple ........................ 45
2.8 Respuesta a las preguntas ............................... 47
2.9 Resolución de los problemas ............................ 47
2.10 Contenido de la página Web de apoyo .............. 53

Capítulo 3: Interés compuesto
3.1 Introducción .................................................... 56
3.2 Monto a interés compuesto ............................... 56
Características principales del interés compuesto .. 58
Marcha del interés compuesto ............................. 58
Monto a interés compuesto cuando la tasa de interés varía ....................................................... 59
Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto 60
Intereses acumulados ........................................ 60
Aplicaciones del interés compuesto en la vida real . 61
Rendimientos de las Bolsas en Latinoamérica y EE. UU . 61
El interés compuesto y las medias geométricas .... 61
Tiempo necesario para que un capital se convierta en múltiplo de sí mismo ......................... 65
Tiempo en que dos capitales, colocados a diferente tasa, alcanzan igual monto ............... 65
Análisis de la funciones monto e interés acumulado 66
Comparación entre el monto simple y el monto compuesto ....................................................... 67
Monto fraccionario ............................................. 68
La tasa proporcional y equivalente en los regímenes simple y compuesto ........................... 69
Una clasificación para el régimen compuesto ....... 69

3.3 Descuento compuesto con tasa de interés vencida ............................................................... 70
Análisis de la función del valor presente utilizando derivadas ................................................ 72

3.4 Descuento compuesto con tasa anticipada ........ 72
Fórmula del número de períodos ........................ 73
Análisis del descuento compuesto con tasa anticipada ....................................................... 74
Comparación del interés y el descuento en los regímenes simple y compuesto ............. 75
Relación entre la tasa de interés y la tasa anticipada en el régimen compuesto ............. 76
Equivalencia de capitales en el interés compuesto .. 76
Vencimiento común y vencimiento medio .......... 77
Comparación del vencimiento medio en los regímenes simple y compuesto ....................... 77

3.5 Resumen .......................................................... 78
3.6 Preguntas ......................................................... 78
3.7 Problemas ......................................................... 79
3.8 Respuesta a las preguntas ............................... 82
3.9 Resolución de los problemas ............................ 82
3.10 Contenido de la página Web de apoyo ............ 86

Capítulo 4: Tasas de interés .................................. 87
4.1 Introducción .................................................... 88
4.2 Tasas de interés vencidas ................................ 88
Tasa nominal y tasa proporcional ..................... 88
Forma de contar los días del año ...................... 89
Tasa efectiva .................................................... 89
Tasa equivalente ............................................... 91
Observaciones sobre el concepto de la tasa efectiva ....................................................... 92
Obtención de la TNA a partir de la TEA ............. 92
Tasa instantánea ................................................ 94
Análisis de la función eⁿ.ᵇ ................................ 96
Teoría matemática del interés ........................... 96
Intereses obtenidos en un infinitésimo de tiempo . 96
Cálculo de la tasa de interés instantánea .......... 97

4.3 La inflación y la tasa de interés real ................... 98
Las unidades de inversión ................................ 100
La ecuación de arbitraje de Fisher ..................... 101
Obtención de la tasa real en el régimen continuo .. 101

4.4 Operaciones en moneda extranjera .................... 102
La variación del tipo de cambio ........................ 102
Teoría de la paridad de las tasas de interés ...... 103
Teoría de la paridad relativa del poder adquisitivo ................................................ 105
El efecto de Fisher internacional ........................ 105

4.5 Tasas anticipadas ...........................................
Tasas de descuento nominal, proporcional y el descuento subperiódico ....................... 106

La tasa efectiva de descuento a partir de la tasa nominal de descuento ................................... 107
La tasa equivalente de descuento ........................ 108
Frecuencia de capitalización y las tasas de interés 108
El valor límite de la tasas nominales de interés y anticipada ....................................................... 109

4.6 Resumen ........................................................ 111
4.7 Preguntas ....................................................... 111
4.8 Problemas ....................................................... 112
4.9 Respuesta a las preguntas ............................. 116
4.10 Resolución de los problemas ......................... 117
4.11 Contenido de la página Web de apoyo ........... 127

Capítulo 5: Rentas o series uniformes
5.1 Introducción .................................................. 130
5.2 Rentas temporarias .......................................... 131
Notación simbólica a utilizar ........................... 131
Una clasificación operativa para las rentas ........ 132
Renta temporaria inmediata de pagos vencidos (valor presente) ............................................... 133
Fórmulas derivadas de la renta temporaria inmediata ....................................................... 136
Valor de la cuota ............................................ 136
Número de períodos ....................................... 136
Tasa de interés .............................................. 138
Renta temporaria inmediata de pagos adelantados 138
Resolución de rentas con Excel .......................... 139
Resolución con calculadora financiera Hewlett-Packard HP 12C ................................. 140
Rentas diferidas ............................................. 140
Rentas anticipadas e imposiciones (valor futuro) . 141
Imposición de pagos vencidos ............................. 141
Imposiciones de pagos adelantados .................... 143
Diferencia entre una renta anticipada y una imposición ....................................................... 144

5.3 Relación entre las distintas rentas .................. 144
Renta inmediata e imposición .......................... 144
Cuadro resumen del valor de las rentas temporarias .......................................................... 145
Análisis y gráficos de las funciones de rentas .... 146
Un ejemplo del mundo real: estimación de la renta de jubilación ............................................... 148
Análisis de sensibilidad del valor de una renta con Excel ....................................................... 149

5.4 Cálculo de la tasa implícita de una renta con interpolación lineal ................................. 150
El método de la interpolación lineal ................ 151

5.5 Resumen .......................................................... 154
5.6 Preguntas ......................................................... 154
5.7 Problemas ......................................................... 155
5.8 Respuesta a las preguntas ............................... 158
5.9 Resolución de los problemas ............................ 159
5.10 Contenido de la página Web de apoyo ............ 166

Capítulo 6: Rentas perpetuas y rentas variables
6.1 Introducción .................................................. 168
6.2 Rentas perpetuas ............................................. 168
Renta inmediata de pagos vencidos .................... 169
Aplicaciones de la renta perpetua: el modelo de los dividendos y el costo capitalizado .......... 171
Rentas diferidas ................................................ 175
Rentas anticipadas ............................................. 176

6.3 Rentas variables temporarias en progresión geométrica ..................................................... 176
Renta inmediata con pagos variables vencidos ... 177
Caso especial: que ocurre cuando g= i ............. 178
Rentas variables diferidas .................................. 178
Rentas variables anticipadas (imposición) ........... 179

6.4 Rentas variables perpetuas en progresión geométrica ....................................................... 179
Renta inmediata, variable, de pagos vencidos ... 179
Críticas al modelo de los dividendos con crecimiento 181
Crecimiento por fases .................................... 182
Renta variable diferida ..................................... 183
Renta variable anticipada ................................ 184

6.5 Rentas variables temporarias en progresión aritmética ....................................................... 184
Renta inmediata variable de pagos vencidos ....... 184
Renta variable diferida ..................................... 186
Imposición ....................................................... 187

6.6 Rentas variables perpetuas en progresión aritmética ................................................. 187
Renta variable inmediata de pagos vencidos ....... 187
Renta variable diferida ..................................... 187
Renta variable anticipada .................................. 187
Esquema y fórmulas de rentas perpetuas y variables ....................................................... 187

6.7 Resumen ........................................................ 189
6.8 Preguntas ....................................................... 189
6.9 Problemas ....................................................... 189
6.10 Respuesta a las preguntas ............................. 192
6.11 Resolución de los problemas ........................ 192
6.12 Contenido de la página Web de apoyo ........... 197

Capítulo 7: Sistemas de amortización de préstamos
7.1 Introducción .................................................. 200
7.2 Sistema francés .............................................. 201
Cuadro de marcha y fórmulas utilizadas ............ 201
Cálculo del saldo del préstamo: métodos prospectivo y retrospectivo ......................... 204
Método prospectivo ......................................... 204
Imputación de amortizaciones parciales y cálculo del saldo del préstamo ......................... 205
Método retrospectivo ....................................... 205
Cálculo del saldo del préstamo en un período irregular ....................................................... 205
Tiempo Medio de Reembolso ........................... 206
Fondo amortizante ............................................. 207
Intereses periódicos ............................................ 208
Intereses abonados entre períodos no consecutivos .......................................................... 209
Resumen de fórmulas para el sistema francés .......................................................... 210
Refinanciación del préstamo y cálculo de la nueva cuota ..................................................... 211
Sensibilidad de la cuota con respecto a la tasa de interés y al plazo ............................... 214
Efecto de pagos extraordinarios en el valor de la cuota: la cuota "balloon" .................... 215
Efecto de los gastos y los impuestos en el costo efectivo del préstamo ......................... 216
Indexación en el sistema francés ......................... 218
La indexación a partir del ajuste en el capital ....... 218

7.3 Sistema alemán ................................................. 220
Fórmulas más utilizadas ..................................... 220
Amortización periódica ..................................... 221
Cuadro de marcha ............................................. 221
Cálculo del saldo del préstamo: métodos prospectivo y retrospectivo ......................... 221
Método prospectivo: ........................................ 221
Método retrospectivo: ..................................... 221
Intereses periódicos ............................................ 222
Cuota periódica ................................................. 222
Intereses abonados entre períodos no consecutivos ....................................................... 222
Resumen de fórmulas ........................................ 224
Comparación entre el sistema de amortización francés y alemán .......................... 224

7.4 Sistema americano ........................................... 225
Sistema americano tradicional ............................ 226
Cuadro de marcha ............................................. 226
Sistema americano con constitución de fondo de amortización ............................................... 227
Comparación del sistema americano de las dos tasas con el sistema francés ............... 227
Sistemas francés, alemán y americano: balance .... 228

7.5 Resumen ........................................................ 228
7.6 Preguntas ....................................................... 229
7.7 Problemas ....................................................... 229
7.8 Respuesta a las preguntas ............................. 232
7.9 Resolución de los problemas .......................... 232
7.10 Contenido de la página Web de apoyo ........... 240

Capítulo 8: Métodos de evaluación de proyectos de inversión
8.1 Introducción .................................................. 242
8.2 El período de recupero (payback) .................... 242
Desventajas del payback .................................... 242
¿Es utilizado el período de recupero? ................ 243
Período de recupero descontado (discounted payback) ....................................................... 243

8.3 El Valor Presente Neto .................................... 244
Regla de decisión del VPN ................................... 245
Análisis de la función del VPN ........................... 246
¿Cuál es la tasa de interés que debe utilizarse para calcular el VPN? ............................................... 248
El supuesto de la reinversión de fondos en el VPN ....................................................... 248

8.4 La Tasa Interna de Retorno (TIR) ...................... 249
Regla de decisión de la TIR .................................. 249
El supuesto de la reinversión de fondos .............. 250
Cómo calcular la TIR sin ayuda de calculadoras financieras: ....................................................... 251
Diferencias y analogías entre el VPN y la TIR ........ 253

8.5 La tasa interna de retorno modificada .............. 253
Consideraciones sobre los supuestos de la TIRM .. 255

8.6 El índice de rentabilidad o relación beneficio-costo ........................................................... 256
Regla de decisión del índice de rentabilidad ......... 257

8.7 Algunas complicaciones: cuando el VPN y la TIR no coinciden ............................................... 257
Racionamiento de capital y proyectos mutuamente excluyentes ............................................... 258
El efecto del tamaño de la inversión inicial ....... 258
El cálculo de la TIR incremental o tasa de Fisher ....................................................... 259
Igual inversión original, diferente desarrollo en el flujo de fondos ........................................... 260
Diferente vida útil ............................................ 262
Chequeo de la tasa de Fisher con Solver .......... 263

Presencia de TIR múltiples o TIR indeterminada .... 263
¿Cómo calcular la tasa de rentabilidad cuando aparecen TIR múltiples o incalculables? ..... 267
Proyectos con diferente vida: cuando la regla del VPN puede fallar ....................................................... 267
El método de la anualidad equivalente ................... 268

8.8 Resumen ........................................................ 269
8.9 Preguntas ....................................................... 269
8.10 Problemas ..................................................... 271
8.11 Respuesta a las preguntas ........................... 275
8.12 Resolución de los problemas ......................... 276
8.13 Contenido de la página Web de apoyo .......... 284

Capítulo 9: Introducción al análisis de bonos
9.1 Introducción .................................................. 286
9.2 Conceptos fundamentales: ¿Qué es un bono? 286
El valor nominal de un bono ................................ 287
El precio de un bono y su flujo de caja ................ 287
Relación entre el precio y la tasa de interés ........ 288
Uso de la función "tabla" de Excel para análisis de sensibilidad del precio ......................... 289
Relación entre la tasa del cupón, la TIR y el precio del bono .......................................... 289
Valoración y rendimiento de un bono cupón cero .. 290
La "TIR anualizada" ............................................. 290

9.3 Analizando el rendimiento de la inversión en bonos .......................................................... 291
La TIR (Yield to Maturity) .................................. 291
Rendimiento corriente (current yield) .................. 292
Ganancias de capital (capital gain yield) ............. 292
Evolución del precio del bono hasta su vencimiento .......................................................... 293

9.4 Cálculo del rendimiento total esperado ("total return") ....................................................... 294
El rendimiento total monetario al vencimiento ..... 294
El rendimiento total al vencimiento ....................... 295
Análisis del rendimiento total al vencimiento ....... 295
El rendimiento total al vencimiento y el rol de la tasa de reinversión ........................................... 295
Análisis de sensibilidad del rendimiento total ..... 296
Rendimiento total esperado para el horizonte de inversión ....................................................... 297

9.5 Análisis financiero de un bono real: cálculo del rendimiento de un bono latinoamericano ....... 298
Diseño del cash flow y cálculo de la "TIR no periódica" con planilla de cálculo ...................... 299
Cálculo y análisis del retorno total al vencimiento .......................................................... 300

9.6 Resumen .......................................................... 302
9.7 Preguntas ......................................................... 302
9.9 Problemas ......................................................... 302
9.10 Respuesta a las preguntas ............................. 304
9.11 Resolución de los problemas .......................... 305
9.11 Contenido de la página Web de apoyo ........... 308

Capítulo 10: Métodos de depreciación
10.1 Introducción .................................................. 310
Método de la línea recta ................................... 310
Método de la suma de dígitos ............................ 312
Método del porcentaje fijo .................................. 313
Método del fondo de amortización ..................... 314

10.2 Comparación de los métodos de depreciación .... 315
10.3 Consideración de la inflación ........................ 316
10.4 Consideraciones económicas de los métodos de depreciación ............................................... 316

10.5 Resumen ........................................................ 317
10.6 Preguntas ....................................................... 317
10.7 Problemas ....................................................... 317
Método de la línea recta ................................... 317
Método de la suma de dígitos ............................ 318
Método del porcentaje fijo .................................. 318
Método del fondo de amortización ..................... 319

10.8 Respuesta a las preguntas ............................. 319
10.9 Resolución de los problemas ......................... 320
Método de la línea recta ................................... 320
Método de la suma de dígitos ............................ 321
Método del porcentaje fijo .................................. 322
Método del fondo de amortización ..................... 322

10.10 Contenido de la página Web de apoyo .......... 323
Referencias bibliográficas .................................. 325
Glosario ............................................................. 327
Índice analítico .................................................. 329

Matemáticas financieras
Matemáticas financieras es una materia de las carreras de ciencias económicas o ingeniería que tiene una inmediata y amplia aplicación a situaciones de la vida real. Por lo tanto, resulta conveniente para el estudiante, forjar un sólido conocimiento en la disciplina.

Esta obra ha sido preparada de tal manera que el alumno alcance el entrenamiento necesario para desenvolverse y progresar con ductilidad en el estudio de la materia, respetando los siguientes ejes:

Tratamiento ameno pero riguroso de la teoría
Ejercitación práctica
Aplicación a problemas del mundo real
Resoluciones comentadas y respuestas a todos los ejercicios y preguntas propuestas
Como las matemáticas financieras son a la vez una herramienta de las finanzas, la obra lo ayudará en el estudio de las Finanzas de la Empresa o los Derivados financieros. Los comentarios a las resoluciones de ejercicios creemos que serán muy útiles para facilitar la comprensión de los temas.

El libro está destinado esencialmente a los estudiantes de las carreras de grado, aunque también puede ser utilizado como texto de consulta y repaso en cursos de postgrado, o por ejecutivos financieros y otros profesionales que utilizan la matemática financiera en su labor cotidiana.

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