FENOMENOS DE TRANSPORTE / APLICACIONES CON MEDOTOS NUMERICOS
LUIS CARRASCO
FENOMENOS DE TRANSPORTE / APLICACIONES CON MEDOTOS NUMERICOS - 1a Edición - Perú MACRO 2011 - 607 paginas Ilustración 17.6 X 24.7 CM
1. Modelosfisícosymatemáticos 9 1.1. Conceptosintroductorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1. Postuladodelcontinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Tiposdeflujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3. Lasoluciónalosproblemasdemecánicadefluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.5. Propiedadesdelosfluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Cinemáticadefluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1. Elvolúmenmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2. Elprincipiodeconservacióndelacantidaddemovimientolineal . . . . . . . . . . . . 16 1.3. TP.I.-TrabajoPráctico#1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2. Nivelesdinámicosdeaproximación 39 2.0.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1. LasecuacionesdeNavier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.1. Modelodefluidoincompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.2. LasecuacionesdeNavier-Stokespromediadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.3. Aproximación”Thinshear layer”(TSL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.4. AproximaciónNavier-Stokesparabolizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.5. Aproximacióndecapalímite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2. Modelodeflujoinvíscido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.1. Propiedadesdelassolucionesdiscontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3. Flujopotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.1. Aproximacióndepequeñaspertubaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.2. Flujopotencial linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3. Naturalezamatemáticadelasecuaciones 51 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2. Superficiescaracterísticas.Solucionesdel tipoondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3. Ecuacionesdiferencialesparcialesdesegundoórden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4. Definicióngeneraldesuperficiecaracterística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5. Dominiodedependencia-zonadeinfluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.6. Condicionesdecontornoeiniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1ÍNDICEGENERAL ÍNDICEGENERAL 3.6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6.2. MatLabcomosoftwaredeaplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4. Métododediferenciasfinitas 71 4.1. Diferenciasfinitasen1D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1.1. DesarrolloenSeriedeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1.2. Aproximacionesdemayororden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.3. Aproximacióndederivadasdeordensuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.4. Númerodepuntosrequeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.1.5. Solucióndelaecuacióndiferencialporelmétododediferenciasfinitas . . . . . . . . . 74 4.1.6. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1.7. Análisisdeerror.TeoremadeLax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1.8. CondicionesdecontornotipoNeumann(“flujoimpuesto”) . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2. Problemasno-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.1. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.2. Métodosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.3. Métodotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3. Precisiónynúmerodepuntosenelesquemadediferenciasfinitas . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.4. Métododediferenciasfinitasenmásdeunadimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.5. Aproximaciónendiferenciasfinitasparaderivadasparciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.5.1. Stencildeloperadordiscreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.6. Resolucióndelsistemadeecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.6.1. Estructurabanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.6.2. Requerimientosdememoriaytiempodeprocesamientoparamatricesbanda . . . . . 95 4.6.3. Anchodebandaynumeracióndenodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.7. Dominiosdeformairregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.7.1. Inmersióndeldominioirregularenunamallahomogénea . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.7.2. Mapeodeldominiodeintegración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.7.3. Coordenadascurvilíneasortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.7.4. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.7.5. Mallasgeneradasportransformaciónconforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.8. Laecuacióndeconvección-reacción-difusión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.8.1. Interpretacióndelosdiferentestérminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.8.2. Discretizacióndelaecuacióndeadvección-difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.8.3. Desacoplamientodelasecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.8.4. Esquemasdediferenciascontracorriente(upwinded). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.8.5. Elcaso2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.8.6. Resolucióndelasecuacionestemporales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.9. Conduccióndelcalorcongeneraciónenuncuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5. Técnicasdediscretización 123 5.1. Métododelosresiduosponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.1.2. Aproximaciónporresiduosponderados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 ((docvertexstuff-1.0.36-58-gb08d323’clean)(docdateWedSep2109:07:512011-0300)(proc-dateWedSep2109:09:192011-0300)) 2ÍNDICEGENERAL ÍNDICEGENERAL 5.1.3. Residuosponderadosparalaresolucióndeecuacionesdiferenciales. . . . . . . . . . 128 5.1.4. Condicionesdecontornonaturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.1.5. Métodosdesolucióndelcontorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.1.6. Sistemadeecuacionesdiferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.1.7. Problemasnolineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.1.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.1.9. TP.chapV–TrabajoPráctico#2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6. Métododeloselementosfinitos 146 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2. Funcionesdeformalocalesdesoportecompacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.3. Aproximaciónasolucionesdeecuacionesdiferenciales.Requisitossobrelacontinuidaddelas funcionesdeforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.4. FormulacióndébilyelmétododeGalerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.5. Aspectoscomputacionalesdelmétododeloselementosfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.5.1. Ejemplo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.5.2. Ejemplo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.5.3. Ejemplo3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.6. Interpolacióndemayorordenen1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.6.1. Gradodelasfuncionesdepruebayvelocidaddeconvergencia . . . . . . . . . . . . . 162 6.6.2. FuncionesdeformadealtoordenstandarddelaclaseC0 . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7. Problemasconadveccióndominante-MétododePetrov-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.8. Elcasomultidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.8.2. Elementotriangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.8.3. Elementocuadrangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.8.4. Transformacióndecoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.8.5. Integraciónnumérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.9. Problemasdependientesdel tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.9.1. Discretizaciónparcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.9.2. Discretizaciónespacio-temporalporelementosfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.10.Elmétododeloselementosfinitosaplicadoalasleyesdeconservación . . . . . . . . . . . . 184 6.11.TP.VI-TrabajoPráctico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7. Métododelosvolúmenesfinitos 191 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.2. Formulacióndelmétododelosvolúmenesfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.2.1. Mallasyvolúmenesdecontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.3. Elmétododelosvolúmenesfinitosen2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.3.1. Evaluacióndelosflujosconvectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.3.2. Fórmulasgeneralesdeintegración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.4. Elmétododelosvolúmenesfinitosen3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.4.1. Evaluacióndelareadelascarasdelacelda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.4.2. Evaluacióndelvolúmendelaceldadecontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 ((docvertexstuff-1.0.36-58-gb08d323’clean)(docdateWedSep2109:07:512011-0300)(proc-dateWedSep2109:09:192011-0300)) 3ÍNDICEGENERAL ÍNDICEGENERAL 7.5. TP.VII.-TrabajoPráctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8. Análisisdeesquemasnuméricos 210 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.2. Definicionesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.3. Consistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.4. Estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.5. ElmétododeVonNeumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.5.1. Factordeamplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.5.2. Extensiónalcasodesistemadeecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.5.3. Análisisespectraldelerrornumérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.5.4. Extensiónaesquemasdetresniveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.5.5. Elconceptodevelocidaddegrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.5.6. AnálisisdeVonNeumannmultidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 8.6. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8.7. TP.TrabajoPráctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9. Métodositerativosparalaresolucióndeecuacioneslineales 235 9.1. Conceptosbásicosdemétodositerativosestacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1.1. Notaciónyrepaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1.2. El lemadeBanach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.1.3. Radioespectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.1.4. Saturacióndelerrordebidoaloserroresderedondeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.1.5. Métodositerativosestacionariosclásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 9.2. MétododeGradientesConjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.2.1. MétodosdeKrylovypropiedaddeminimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.2.2. Consecuenciasdelapropiedaddeminimización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.2.3. Criteriodedetencióndelprocesoiterativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 9.2.4. Implementacióndegradientesconjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 9.2.5. Los“verdaderosresiduos”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 9.2.6. MétodosCGNRyCGNE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 9.3. ElmétodoGMRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 9.3.1. LapropiedaddeminimizaciónparaGMRESyconsecuencias . . . . . . . . . . . . . . 272 9.3.2. Criteriodedetención: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 9.3.3. Precondicionamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 9.3.4. ImplementaciónbásicadeGMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 9.3.5. Implementaciónenunabaseortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 9.3.6. ElalgoritmodeGram-Schmidtmodificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 9.3.7. Implementacióneficiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 9.3.8. Estrategiasdereortogonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 9.3.9. Restart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 9.3.10.Otrosmétodosparamatricesno-simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 9.3.11.GuíaNro3.GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 9.4. Descomposicióndedominios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 ((docvertexstuff-1.0.36-58-gb08d323’clean)(docdateWedSep2109:07:512011-0300)(proc-dateWedSep2109:09:192011-0300)) 4ÍNDICEGENERAL ÍNDICEGENERAL 9.4.1. Condicionamientodelproblemadeinterfase.AnálisisdeFourier. . . . . . . . . . . . . 288 9.5. GuíadeTrabajosPrácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 10.Flujoincompresible 296 10.1.Definicióndeflujoincompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 10.2.EcuacionesdeNavier-Stokesincompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 10.3.Formulaciónvorticidad-funcióndecorriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 10.4.Discretizaciónenvariablesprimitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.5.Usodemallasstaggered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 10.6.Discretizaciónporelementosfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 10.7.El testdelaparcela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 10.8.LacondicióndeBrezzi-Babuska. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 10.9.MétodosFEMestabil
El estudio y la aplicación de los fenómenos de transporte es esencial para la ingeniería contemporánea, principalmente en la ingeniería química y ciencias afines como son la ingeniería de alimentos, la ingeniería ambiental, la metalurgia, los procesos biológicos, la meteorología y otros. Nos permite elaborar modelos matemáticos derivados de los fenómenos físicos, químicos y biológicos, a partir de las ecuaciones generales de conservación, ya sea de cantidad de movimiento energía y materia o las combinaciones de estas, de tal forma que con un conocimiento adecuado de las herramientas matemáticas puedan ser resueltos muchos modelos complejos de una manera sencilla a través del uso también de un software como el polymath, que es un software amplio que puede ser dominado fácilmente inclusive por aquellos que no tengan experiencia en programación. Precisamente en este libro, se hace uso de este software para resolver los problemas más representativos. Finalmente, los problemas que se presentan en este texto, son el resultado de recopilaciones de los principales textos, y una gran cantidad de estos problemas son el aporte del suscrito, muchos de ellos son el resultado de trabajos de investigación.
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QA297 / C37
FENOMENOS DE TRANSPORTE / APLICACIONES CON MEDOTOS NUMERICOS - 1a Edición - Perú MACRO 2011 - 607 paginas Ilustración 17.6 X 24.7 CM
1. Modelosfisícosymatemáticos 9 1.1. Conceptosintroductorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1. Postuladodelcontinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Tiposdeflujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3. Lasoluciónalosproblemasdemecánicadefluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.5. Propiedadesdelosfluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Cinemáticadefluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1. Elvolúmenmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2. Elprincipiodeconservacióndelacantidaddemovimientolineal . . . . . . . . . . . . 16 1.3. TP.I.-TrabajoPráctico#1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2. Nivelesdinámicosdeaproximación 39 2.0.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1. LasecuacionesdeNavier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.1. Modelodefluidoincompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.2. LasecuacionesdeNavier-Stokespromediadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.3. Aproximación”Thinshear layer”(TSL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.4. AproximaciónNavier-Stokesparabolizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.5. Aproximacióndecapalímite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2. Modelodeflujoinvíscido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.1. Propiedadesdelassolucionesdiscontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3. Flujopotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.1. Aproximacióndepequeñaspertubaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.2. Flujopotencial linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3. Naturalezamatemáticadelasecuaciones 51 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2. Superficiescaracterísticas.Solucionesdel tipoondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3. Ecuacionesdiferencialesparcialesdesegundoórden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4. Definicióngeneraldesuperficiecaracterística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5. Dominiodedependencia-zonadeinfluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.6. Condicionesdecontornoeiniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1ÍNDICEGENERAL ÍNDICEGENERAL 3.6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6.2. MatLabcomosoftwaredeaplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4. Métododediferenciasfinitas 71 4.1. Diferenciasfinitasen1D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1.1. DesarrolloenSeriedeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1.2. Aproximacionesdemayororden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.3. Aproximacióndederivadasdeordensuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.4. Númerodepuntosrequeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.1.5. Solucióndelaecuacióndiferencialporelmétododediferenciasfinitas . . . . . . . . . 74 4.1.6. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1.7. Análisisdeerror.TeoremadeLax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1.8. CondicionesdecontornotipoNeumann(“flujoimpuesto”) . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2. Problemasno-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.1. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.2. Métodosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.3. Métodotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3. Precisiónynúmerodepuntosenelesquemadediferenciasfinitas . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.4. Métododediferenciasfinitasenmásdeunadimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.5. Aproximaciónendiferenciasfinitasparaderivadasparciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.5.1. Stencildeloperadordiscreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.6. Resolucióndelsistemadeecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.6.1. Estructurabanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.6.2. Requerimientosdememoriaytiempodeprocesamientoparamatricesbanda . . . . . 95 4.6.3. Anchodebandaynumeracióndenodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.7. Dominiosdeformairregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.7.1. Inmersióndeldominioirregularenunamallahomogénea . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.7.2. Mapeodeldominiodeintegración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.7.3. Coordenadascurvilíneasortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.7.4. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.7.5. Mallasgeneradasportransformaciónconforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.8. Laecuacióndeconvección-reacción-difusión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.8.1. Interpretacióndelosdiferentestérminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.8.2. Discretizacióndelaecuacióndeadvección-difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.8.3. Desacoplamientodelasecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.8.4. Esquemasdediferenciascontracorriente(upwinded). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.8.5. Elcaso2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.8.6. Resolucióndelasecuacionestemporales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.9. Conduccióndelcalorcongeneraciónenuncuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5. Técnicasdediscretización 123 5.1. Métododelosresiduosponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.1.2. Aproximaciónporresiduosponderados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 ((docvertexstuff-1.0.36-58-gb08d323’clean)(docdateWedSep2109:07:512011-0300)(proc-dateWedSep2109:09:192011-0300)) 2ÍNDICEGENERAL ÍNDICEGENERAL 5.1.3. Residuosponderadosparalaresolucióndeecuacionesdiferenciales. . . . . . . . . . 128 5.1.4. Condicionesdecontornonaturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.1.5. Métodosdesolucióndelcontorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.1.6. Sistemadeecuacionesdiferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.1.7. Problemasnolineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.1.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.1.9. TP.chapV–TrabajoPráctico#2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6. Métododeloselementosfinitos 146 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2. Funcionesdeformalocalesdesoportecompacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.3. Aproximaciónasolucionesdeecuacionesdiferenciales.Requisitossobrelacontinuidaddelas funcionesdeforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.4. FormulacióndébilyelmétododeGalerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.5. Aspectoscomputacionalesdelmétododeloselementosfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.5.1. Ejemplo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.5.2. Ejemplo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.5.3. Ejemplo3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.6. Interpolacióndemayorordenen1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.6.1. Gradodelasfuncionesdepruebayvelocidaddeconvergencia . . . . . . . . . . . . . 162 6.6.2. FuncionesdeformadealtoordenstandarddelaclaseC0 . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7. Problemasconadveccióndominante-MétododePetrov-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.8. Elcasomultidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.8.2. Elementotriangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.8.3. Elementocuadrangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.8.4. Transformacióndecoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.8.5. Integraciónnumérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.9. Problemasdependientesdel tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.9.1. Discretizaciónparcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.9.2. Discretizaciónespacio-temporalporelementosfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.10.Elmétododeloselementosfinitosaplicadoalasleyesdeconservación . . . . . . . . . . . . 184 6.11.TP.VI-TrabajoPráctico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7. Métododelosvolúmenesfinitos 191 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.2. Formulacióndelmétododelosvolúmenesfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.2.1. Mallasyvolúmenesdecontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.3. Elmétododelosvolúmenesfinitosen2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.3.1. Evaluacióndelosflujosconvectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.3.2. Fórmulasgeneralesdeintegración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.4. Elmétododelosvolúmenesfinitosen3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.4.1. Evaluacióndelareadelascarasdelacelda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.4.2. Evaluacióndelvolúmendelaceldadecontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 ((docvertexstuff-1.0.36-58-gb08d323’clean)(docdateWedSep2109:07:512011-0300)(proc-dateWedSep2109:09:192011-0300)) 3ÍNDICEGENERAL ÍNDICEGENERAL 7.5. TP.VII.-TrabajoPráctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8. Análisisdeesquemasnuméricos 210 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.2. Definicionesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.3. Consistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.4. Estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.5. ElmétododeVonNeumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.5.1. Factordeamplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.5.2. Extensiónalcasodesistemadeecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.5.3. Análisisespectraldelerrornumérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.5.4. Extensiónaesquemasdetresniveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.5.5. Elconceptodevelocidaddegrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.5.6. AnálisisdeVonNeumannmultidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 8.6. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8.7. TP.TrabajoPráctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9. Métodositerativosparalaresolucióndeecuacioneslineales 235 9.1. Conceptosbásicosdemétodositerativosestacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1.1. Notaciónyrepaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1.2. El lemadeBanach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.1.3. Radioespectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.1.4. Saturacióndelerrordebidoaloserroresderedondeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.1.5. Métodositerativosestacionariosclásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 9.2. MétododeGradientesConjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.2.1. MétodosdeKrylovypropiedaddeminimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.2.2. Consecuenciasdelapropiedaddeminimización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.2.3. Criteriodedetencióndelprocesoiterativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 9.2.4. Implementacióndegradientesconjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 9.2.5. Los“verdaderosresiduos”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 9.2.6. MétodosCGNRyCGNE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 9.3. ElmétodoGMRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 9.3.1. LapropiedaddeminimizaciónparaGMRESyconsecuencias . . . . . . . . . . . . . . 272 9.3.2. Criteriodedetención: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 9.3.3. Precondicionamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 9.3.4. ImplementaciónbásicadeGMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 9.3.5. Implementaciónenunabaseortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 9.3.6. ElalgoritmodeGram-Schmidtmodificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 9.3.7. Implementacióneficiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 9.3.8. Estrategiasdereortogonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 9.3.9. Restart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 9.3.10.Otrosmétodosparamatricesno-simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 9.3.11.GuíaNro3.GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 9.4. Descomposicióndedominios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 ((docvertexstuff-1.0.36-58-gb08d323’clean)(docdateWedSep2109:07:512011-0300)(proc-dateWedSep2109:09:192011-0300)) 4ÍNDICEGENERAL ÍNDICEGENERAL 9.4.1. Condicionamientodelproblemadeinterfase.AnálisisdeFourier. . . . . . . . . . . . . 288 9.5. GuíadeTrabajosPrácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 10.Flujoincompresible 296 10.1.Definicióndeflujoincompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 10.2.EcuacionesdeNavier-Stokesincompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 10.3.Formulaciónvorticidad-funcióndecorriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 10.4.Discretizaciónenvariablesprimitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.5.Usodemallasstaggered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 10.6.Discretizaciónporelementosfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 10.7.El testdelaparcela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 10.8.LacondicióndeBrezzi-Babuska. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 10.9.MétodosFEMestabil
El estudio y la aplicación de los fenómenos de transporte es esencial para la ingeniería contemporánea, principalmente en la ingeniería química y ciencias afines como son la ingeniería de alimentos, la ingeniería ambiental, la metalurgia, los procesos biológicos, la meteorología y otros. Nos permite elaborar modelos matemáticos derivados de los fenómenos físicos, químicos y biológicos, a partir de las ecuaciones generales de conservación, ya sea de cantidad de movimiento energía y materia o las combinaciones de estas, de tal forma que con un conocimiento adecuado de las herramientas matemáticas puedan ser resueltos muchos modelos complejos de una manera sencilla a través del uso también de un software como el polymath, que es un software amplio que puede ser dominado fácilmente inclusive por aquellos que no tengan experiencia en programación. Precisamente en este libro, se hace uso de este software para resolver los problemas más representativos. Finalmente, los problemas que se presentan en este texto, son el resultado de recopilaciones de los principales textos, y una gran cantidad de estos problemas son el aporte del suscrito, muchos de ellos son el resultado de trabajos de investigación.
9786123040109
gestion de la cadena de suministro
QA297 / C37
