Geometria Descriptiva Sistemas de proyeccion cilindrica /

Prólogo – pág. 7
Bibliografía – pág. 15


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Capítulo 1. Convención geométrica de la representación

1.0. Contenido – pág. 21
1.1. Geometría y representación

1.1.1. Hitos de un proceso histórico – pág. 21

1.1.2. Dibujo y geometría – pág. 25


1.2. Conceptos geométricos

1.2.1. Elementos geométricos fundamentales – pág. 26

1.2.2. Elementos impropios – pág. 28

1.2.3. Figuras y formas geométricas – pág. 29

1.2.4. Transformaciones geométricas – pág. 31


1.3. Fundamento de la representación

1.3.1. Proyección y sección – pág. 36

1.3.2. Propiedades de diferenciación entre las diferentes proyecciones – pág. 37

1.3.3. Ambigüedad de la figura proyectada – pág. 41

1.3.4. Los sistemas como convención – pág. 44

1.3.5. Deformación y distorsión – pág. 46


1.4. Sistemas de proyección

1.4.1. Organización de la representación – pág. 50

1.4.2. Concepto de sistema – pág. 54


1.5. Fundamentos de operatividad diédrica

1.5.1. Interrelación de los sistemas – pág. 56

1.5.2. Planta-alzado y diédrico de representación – pág. 57

1.5.3. Cambios de plano de proyección – pág. 59

1.5.4. Giro de rectas – pág. 59

1.5.5. Abatimiento de planos – pág. 60



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Capítulo 2. Dibujo de cónicas

2.0. Contenido – pág. 63

2.1. Propiedades generales

2.1.1. Cónicas como sección de las radiales – pág. 64

2.1.2. Simetría en las cónicas – pág. 64

2.1.3. Semejanza en las cónicas – pág. 65

2.1.4. Focos de las cónicas – pág. 66

2.1.5. Interpretación proyectiva – pág. 66

2.1.6. Las rectas como cónicas – pág. 66


2.2. Dibujo de la elipse

2.2.1. Diámetros conjugados de la elipse – pág. 68

2.2.2. Simetría afín en la elipse – pág. 70

2.2.3. Trazados en la elipse a partir de sus ejes – pág. 70

2.2.4. Trazados en la elipse dada por diámetros conjugados – pág. 71


2.3. Determinación de las cónicas

2.3.1. Condiciones de determinación – pág. 73

2.3.2. Cónica por dos puntos y sus tangentes – pág. 76


2.4. Dibujo de la hipérbola

2.4.1. Simetría afín en la hipérbola – pág. 78

2.4.2. Dibujo de la hipérbola – pág. 79

2.4.3. Trazados en la hipérbola – pág. 80


2.5. Dibujo de la parábola

2.5.1. Simetría afín en la parábola – pág. 81

2.5.2. Dibujo de la parábola – pág. 82

2.5.3. Trazados en la parábola – pág. 83


2.6. Cónicas como sección de regladas

2.6.1. Representación y resolución gráfica – pág. 85

2.6.2. Hipérbola como sección del cono de revolución – pág. 86

2.6.3. Elipse como sección del hiperboloide de revolución – pág. 88

2.6.4. Parábola como sección del cono de revolución – pág. 89

2.6.5. Parábola como sección del paraboloide – pág. 90



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Capítulo 3. Axonometría, sus ternas

3.0. Contenido – pág. 93

3.1. Convención axonométrica

3.1.1. Ordenación cartesiana – pág. 94

3.1.2. Sistema axonométrico – pág. 94

3.1.3. Sobre el alfabeto del punto – pág. 95

3.1.4. Convención de terna de referencia – pág. 96

3.1.5. Convención métrica – pág. 99

3.1.6. Convención de orientación de la terna – pág. 101


3.2. Temas axonométricos

3.2.1. Axonometrías ortogonales y oblicuas – pág. 103

3.2.2. Temas usuales – pág. 104

3.2.3. Terna ordinaria con tres simetrías (isométrico) – pág. 105

3.2.4. Terna ordinaria con una simetría – pág. 107

3.2.5. Ternas ordinarias asimétricas – pág. 109

3.2.6. Coherencia entre disposición de ejes y escalas – pág. 110

3.2.7. Ternas caballeras – pág. 111

3.2.8. Ternas militares – pág. 112

3.2.9. Distorsión y campo – pág. 113


3.3. Sobre el dibujo de axonometrías

3.3.1. Representación y concreción geométrica – pág. 116

3.3.2. Construcción gráfica – pág. 116

3.3.3. Interpretación geométrica – pág. 117

3.3.4. Resolución gráfica – pág. 118

3.3.5. Determinación de contornos – pág. 120


3.4. Apéndice sobre axonometría ortogonal

3.4.1. Operaciones básicas del sistema – pág. 121

3.4.2. Determinación de la unidad espacial – pág. 122

3.4.3. Situación de los ejes a partir de las unidades axonométricas – pág. 124

3.4.4. Situación de los ejes por recurso al triángulo órtico – pág. 126

3.4.5. Condición a cumplir por la terna de escalas – pág. 127


3.5. Apéndice sobre axonometría oblicua

3.5.1. Oblicuidad en las axonometrías frontales – pág. 128

3.5.2. Distorsión por mayoración en las axonometrías frontales – pág. 129

3.5.3. Distorsión por mayoración en las axonometrías oblicuas ordinarias – pág. 130

3.5.4. Oblicuidad en las axonometrías ordinarias – pág. 132

3.5.5. Triángulo de referencia en la axonometría oblicua ordinaria – pág. 134


3.6. Apéndice sobre cambio de axonométrico a diédrico

3.6.1. Cambios de sistema – pág. 135

3.6.2. Paso a diédrico por apertura de caras – pág. 136

3.6.3. Planta y alzados diédrico en correlación con la axonometría – pág. 137

3.6.4. Planta y alzados diédrico en correlación con la axonometría – pág. 139

3.6.5. Dibujo de la axonometría a partir de dos proyecciones diédrica – pág. 140

> La geometría descriptiva es una ciencia aplicada, cuyo fin específico es la racionalización geométrica de los temas espaciales en los lenguajes gráficos de la arquitectura y las ingenierías. Tras un proceso multisecular, Gaspar Monge la formula definitivamente en 1795 y queda desarrollada prácticamente en el siglo XIX. En la actualidad, la generalidad de publicaciones sobre la materia tienen cierto carácter docente; explican un tema ya conocido, con vocación de aportar eficacia y de clarificar una metodología que frecuentemente se considera tortuosa para el no iniciado. Ello obedece, por una parte, a sus propios objetivos y, por otra, a los distintos cambios de rumbo que ha seguido su docencia y desarrollo.



> Los objetivos de la geometría descriptiva quedan ya claramente expuestos por Monge: “... el primero es representar con exactitud sobre los diseños de dos dimensiones los objetos que tienen tres... el segundo es, el de, la descripción exacta de los cuerpos, todo cuanto se sigue necesariamente de sus formas y de sus posiciones relativas”. Está comúnmente aceptado que la comprensión de las relaciones espaciales es, en general, difícil para el alumno; cuando no se dispone de una buena preparación puede resultar de extrema abstracción. Además, su representación comporta una segunda abstracción puesto que transforma las formas tridimensionales en bidimensionales. No es raro que se imparta una educación donde mejor se accede a la comprensión de la primera porque su lenguaje adecuado. Por otra parte, su comunicación es visual y el consistente proceso de adquisición de este lenguaje puede ser lento y no siempre accesible.



> La geometría descriptiva, tanto en su formulación como en su proceso de desarrollo, está íntimamente relacionada con las enseñanzas técnicas superiores y con el estudio del espacio propio de las matemáticas. Gaspar Monge es un matemático y formula la disciplina en el contexto de los cursos impartidos en la Academia de Mézières; su sistematización gráfica, de rotunda eficacia y con intrínseco rigor matemático, se acompaña de un discurso matemático paralelo que posteriormente puede obviarse. El concepto de proyección-sección (en el que se fundamenta la ciencia de Monge) da lugar a la geometría proyectiva; la ciencia matemática autónoma que releva, en el estudio coetáneo de la geometría descriptiva, al citado discurso paralelo de Monge y llega a adoptar la condición de fundamento teórico imprescindible. Por otra parte, el desarrollo básico del sistema diédrico entra en una laberíntica casuística de posiciones relativas, motivada por la rígida escisión entre el diedro de proyección y el espacio representado; rigidez propia del sistema de Monge que posteriormente, con el diédrico directo, resulta innecesaria. También debe considerarse como factor perturbador que la geometría descriptiva se haya impartido frecuentemente en cursos previos a las enseñanzas consideradas como específicas de las escuelas técnicas superiores. Ubicación que le ha dado, en muchas ocasiones y lugares, determinado carácter selectivo, con la consiguiente distorsión de contenidos; circunstancia que, junto a su equívoca consideración de...

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