ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA DIFERENCIAL /

Capitulo I.
Capítulo II.
Capítulo III.
Capitulo IV.
Contenido
El cálculo en el espacio euclidiano,
1. El espacio euclidiano, 13
2. Vectores tangentes,
3. Derivadas direccionales, 21
4. Curvas en E3, 26
5. 1 - formas, 33
6. Formas diferenciales,
38
7. Mapeos, 44
8. Resumen, 53
Campos de sistemas de referencia
1. El producto escalar,
55
2. Curvas, 64
3. Las fórmulas de Frenet,
71
4. Curvas de rapidez arbitraria,
81
5. Derivadas covariantes, 94
6. Campos de sistemas de referencia,
98
7. Formas de conexión, 102
8. Las ecuaciones estructurales,
110
9. Resumen, 115
Geometría euclidiana,
1. Isometrías de E, 117
2. El mapa de derivadas de una isometría, 124
3. Orientación, 127
4. Geometría euclidiana,
133
5. Congruencia de curvas, 138
6. Resumen, 146
El cálculo en una superficie,
1. Las superficies en E, 149
2. Los cálculos en las cartas, 159
3. ⁠Funciones diferenciables y vectores tangentes, 169
4. Formas diferenciales en una superficie, 178
5. Mapeos de superficies,
185
Integración de formas,
194
7. Propiedades topológicas de las superficies, 204
8. Variedades,
9. Resumen,
217
Capítulo V.
Operadores de forma,
1. El operador de forma de M CE, 219
2. Curvatura normal,
3. Curvatura gaussiana, 234
4. Técnicas de cálculo, 242
5. Curvas especiales en una superficie, 257
6. Superficies de revolución, 269
1. Resumen,
280
Capitulo vI.
Geometría de las superficies en E3,
1. Las ecuaciones fundamentales,
281
2. Cálculos con formas,
287
3. Algunos teoremas globales, 294
4. Isometrías e isometrías locales,
302
5. La geometría intrínseca de superficie de E3, 311
6. Coordenadas ortogonales,
316
7. Integración y orientación,
321
8. Congruencia de superficies,
340
9. Resumen, 347
Capítulo VII. La geometría de Riemann,
1. Superficies geométricas,
2. La curvatura gaussiana,
349
3. La derivada covariante,
356
4. Las geodésicas,
364
374
Propiedades minimizantes de la longitud
6.
de las geodésicas, 389
Curvatura y puntos conjugados, 404
7. Mapeos que conservan los productos
interiores,
415
8. El teorema de Gauss-Bonnet, 426

Este libro expone los elementos de la geometría de curvas y superficies.
Se destina para los estudiantes que ya terminaron los primeros cursos regulares de cálculo y álgebra lineal y se escribió, con el propósito de presentar una introducción a las ideas más importantes de la geometría diferencial.
En las últimas décadas, el curso tradicional de geometría diferencial para estudiantes ha cambiado muy poco. Por otra parte, en la investigación, la geometría ha progresado con mucha rapidez y se reconoce generalmente que es necesario modernizar el curso a nivel de licenciatura. Traté de revisar el material clásico, para eliminar las partes superfluas, a la vez, que aumentarlo y presentar mi versión en un estilo matemático bastante pulcro y moderno. Sin embargo, me abstuve de emplear ideas nuevas, excepto, cuando ayudaban a esclarecer y simplificar la exposición.
En el capítulo I se establece la terminología del libro; es un lenguaje que ya conocen parcialmente quienes estudiaron el cálculo y álgebra lineal. En el capítulo II, se describe el método de los "sistemas móviles de referencia" que se expone aquí, igual que en el cálculo elemental, a fin de estudiar curvas en el espacio. En el capítulo III, investigamos los movimientos rígidos del espacio que permiten definir la congruencia de curvas (o de superficies) en el espacio, de la misma manera que la congruencia de triángulos en el plano.
Se requiere un comentario especial acerca del capítulo IV. La deficiencia principal de la geometría diferencial clásica residía en la falta de una definición adecuada de superficie. En este capítulo decidiremos lo que es, en verdad, una superficie y demostraremos que a cada superficie le corresponde un cálculo diferencial e integral propio de ella y totalmente análogo al bien conocido cálculo del plano. En esta exposición se presenta por primera vez la idea de variedad diferenciable la cual llegó a ser imprescindible en aquellas ramas, de las matemáticas y sus aplicaciones, que se basan en el cálculo.
Los dos capítulos siguientes abarcan la geometría de las superficies en el espacio tridimensional. El capítulo V subraya los aspectos intuitivos y de cálculo, a fin de darle un sentido geométrico a la teoría del capítulo VI.
En el último capítulo, no modificamos nuestros métodos, pero adoptamos
un punto de vista radicalmente opuesto. En términos generales, lo que hacemos allí es estudiar la geometría de una superficie, tal como la verían sus habitantes, sin suponer que la superficie en cuestión se encuentra en el espacio tridimensional ordinario.
Ninguna rama de las matemáticas estimula más la intuición que la geometría. Traté de destacarlo, proporcionando gran número de ejemplos que forman parte integral del texto. Al final de cada sección, hay un conjunto de ejercicios; éstos van, desde las pruebas rutinarias de comprensión hasta problemas que requieren mayor esfuerzo intelectual.
Al usar, para dar clases, las versiones preliminares del libro, por lo general, cubría, con bastante rapidez, el material preliminar del capítulo I y omitía el capítulo III (îsí como, lógicamente, la sección 8 del capítulo VI). Un curso de la geometría de las curvas y las superficies en el espacio podría constar de: el capítulo II, el capítulo IV (con la omisión de las secciones 6 y 8), el capítulo V y el capítulo VI (con la omisión de las secciones 6 y 7). Si a estos capítulos agregamos la explicación de los conceptos de superficie y de mapeo de superficies, esto será, en esencia, el material del curso tradicional de geometría diferencial para estudiantes.
Las seciones que omitimos, en la lista anterior, se usan solamente en el capítulo VII. La presentación de este capítulo final, con su estudio amplio de la geometría bidimensional de Riemann, en cierto sentido, es el objetivo principal de este libro. En lugar de desplazar el estudio a dimensiones superiores, he preferido conservar la dimensión 2, para que este punto de vista de la geometría más sutil, se desarrolle directamente a partir del caso especial de las superficies del espacio de dimensión 3. El capítulo VII es largo y, en la primera lectura, se pueden omitir el teorema 5.9 y las secciones 6 y 7. En los primeros capítulos se ha evitado aplicar a fondo la teoría de ecuaciones diferenciales; sin embargo, será útil conocer los fundamentos de la misma para estudiar el capítulo VII.

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