Análisis de sistemas lineales

Símbolos y nomenclatura

1. Aspectos fundamentales

1.1. Sistemas.

1.2. Modelos

1.3. Sistemas lineales

1.4. Invariancia en el tiempo

1.5. Linealización

1.5.1. Sistema no lineal de tiempo continuo

1.5.2. Sistema no lineal de tiempo discreto

1.6. Problemas para el lector

2. Señales

2.1. Introducción.

2.2. Señales de tiempo continuo

2.2.1. Escalón unitario (función de Heaviside)

2.2.2. Impulso unitario o delta de Dirac

2.2.3. Rampa unitaria

2.2.4. Exponencial

2.2.5. Señales sinusoidales

2.2.6. Sinusoidales con amplitud exponencial

2.2.7. Potencia y energía en señales de tiempo continuo

2.3. Señales de tiempo discreto

2.3.1. Escalón unitario de tiempo discreto

2.3.2. Impulso unitario discreto o delta de Kronecker

2.3.3. Rampa unitaria de tiempo discreto

..

2.3.4. Exponencial de tiempo discreto

.....

2.3.5. Señales sinusoidales de tiempo discreto

2.3.6. Sinusoidales con amplitud exponencial

...

2.3.7. Potencia y energía en señales de tiempo discreto

2.4. Problemas para el lectoreshkarko

3. Análisis en tiempo continuo

3.1. Introducción

...

3.2. Ecuación diferencial del sistema (EDS).

3.3.

La respuesta del sistema.

3.3.1. Componente homogénea y componente particular

3.3.2. Frecuencias y modos naturales

3.3.3. Modos forzantes y modos forzados

3.3.4. Estabilidad

3.3.5. Velocidad

3.3.6. Respuesta a estado inicial y respuesta a entrada

3.4. Respuesta a señales de prueba.

3.4.1. Respuesta a escalón unitario

3.4.2. Respuesta a impulso unitario

3.5. Cálculo de la respuesta vía convolución.

3.6. Problemas para el lector

4. Análisis en tiempo discreto

4.1. Introducción.

4.2. Ecuación de recursión del sistema (ERS)

4.3. La respuesta del sistema

4.3.1. Componente homogénea y componente particular

4.3.2. Frecuencias y modos naturales

4.3.3. Modos forzantes y modos forzados

4.3.4. Estabilidad

4.3.5. Velocidad

4.3.6. Respuesta a estado inicial y respuesta a entrada

4.4. Respuesta a señales de prueba.

4.4.1. Respuesta a escalón unitario

4.4.2. Respuesta a impulso unitario

4.5. Cálculo de la respuesta vía convolución.

4.6. Problemas para el lector.

5. Análisis bajo excitaciones periódicas

5.1. Señales periódicas...

5.2. Respuesta a entrada sinusoidal. El caso de tiempo continuo

5.3. Series de Fourier para señales de tiempo continuo.

5.3.1. Serie de Fourier trigonométrica

5.3.2. Serie de Fourier exponencial...................

5.3.3. Parseval y la energía de las señales periódicas

5.4. Respuesta a entradas sinusoidales. El caso de tiempo discreto

5.5. Serie de Fourier de tiempo discreto

5.6. Aplicación de las series de Fourier al análisis de sistemas lineale

5.7. Problemas para el lector

6. Análisis bajo excitaciones arbitrarias. La transformada de Fou-rier

6.1. La limitación de las series de Fourier

6.2. La transformada de Fourier de tiempo continuo

6.2.1. Parseval y la energía de las señales en tiempo continuo.

6.2.2. Aplicación a sistemas lineales.

6.2.3. La transferencia de Fourier y la respuesta en frecuencia

6.2.4.

Filtraje

...

6.2.5. Caso singular en la función de transferencia

6.3. La transformada de Fourier de tiempo discreto

6.3.1. Parseval y la energía de las señales de tiempo discreto

6.3.2. Aplicación a sistemas lineales

6.3.3. La función de transferencia y la respuesta en frecuencia

6.3.4. Filtraje

6.3.5. Caso singular en la función de transferencia. El caso de los sistemas discretos...

6.4. La SFD, la TFD y la TFTD.

6.4.1. Aspectos generales

6.4.2. Conexiones

6.5. Problemas para el lector

7. Análisis bajo excitaciones arbitrarias. La transformada de La-place

7.1. Introducción

7.2. Definición de la transformada

7.3. Aplicación a sistemas lineales: la función de transferencia

7.3.1. Definición y propiedades de la función de transferencia

..

7.3.2. Función de transferencia en dominios de Laplace y Fourier

7.3.3. Función de transferencia y respuesta en frecuencia

7.4. Respuesta a impulso y respuesta a escalón

7.5. Respuesta a condiciones iniciales y señales arbitrarias

7.6. Estabilidad

7.6.1. Análisis de polinomios

7.6.2. Algoritmo de Routh-Hurwitz

7.7.

Polos, ceros y la respuesta temporal

7.7.1. Polos.

7.7.2. Ceros

7.7.3. Respuesta inversa o contrarrespuesta (undershoot).....

7.7.4. Sistema canónico de segundo orden

7.8. Relaciones entre las transformadas de Laplace y de Fourier

7.9. Problemas para el lector

8. Análisis bajo excitaciones arbitrarins. La transformada Zeta

8.1. Introducción

8.2. Definición de la transformada

5.3.

Aplicación a sistemas lineales: la función de transferencia Definición y propiedades de la función de transferencia

8.3.1.

8.3.2. Función de transferencia en dominios de Fourier y Zeta Función de transferencia y respuesta en freconcis

8.3.3.

8.4. Respuesta a impulso y respuesta a escalón

5.5. Respuesta a condiciones iniciales y excitaciones arbitrarias

8.6. Estabilidad

8.6.1. Análisis de polinomios

8.6.2. Algoritmo de Jury

8.7. Polos, ceros y la respuesta temporal

8.7.1. Polos.

8.7.2. Ceros

8.7.3. Respuesta inversa o contrarrespuesta (undershoot)

8.8. Relaciones entre las transformadas Zeta y de Fourier

8.9. Problemas para el lector.

9. Representación gráfica de sistemas lineales

9.1. Ideas generales

9.2. Diagramas de Bode..

9.2.1. Tiempo continuo

9.2.2. Tiempo discreto

9.3. Diagramas polares

9.3.1. Tiempo continuo

9.3.2. Tiempo discreto

9.4. Diagramas de bloques

9.5. Problemas para el lector

10. Representación en variables de estado

10.1. Introducción

10.2. Conceptos fundamentales

10.2.1. Definición de estado

10.2.2. Modelos básicos en variables de estado

10.2.3. Señales descritas en espacios de estado.

10.3. Modelos de estado para sistemas de tiempo continuo

10.3.1. Linealización

10.3.2. Modelos lineales en el espacio de estado

10.3.3. Transformaciones de similaridad

10.3.4. Espacio de estado y funciones de transferencia

10.4. Modelos de estado para sistemas de tiempo discreto

10.4.1. Linealización de sistemas discretos

10.4.2. Modelos de estado lineales.

10.4.3. Transformaciones de similaridad

10.4.4. Espacio de estado y funciones de transferencia

10.5. Modelos de estado para sistemas interconectados

10.6. Propiedades de los sistemas

10.6.1. Controlabilidad, alcanzabilidad y estabilizabilidad

10.6.2. Observabilidad, reconstructibilidad y detectabilidad

10.6.3. Descomposición

canónica

10.7. Observadores

10.7.1. Dinámica del observador

10.7.2. Observadores y ruido de medición

10.8. Problemas para el lector

11.Sistemas muestreados

11.1. Introducción.

11.2. Muestreo de señales

11.3. Análisis en frecuencia de señales muestreadas

11.3.1. Tren de impulsos y su espectro

11.3.2. Muestreo impulsivo.

11.4. Reconstrucción

11.4.1. Reconstrucción ideal

11.4.2. Retenedor de orden cero.

11.4.3. Retenedor de primer orden

11.5. Sistemas muestreados. Casos relevantes

11.5.1. Procesamiento digital de señales

11.5.2. Discretización de sistemas de tiempo continuo

11.6. Modelos de estado para sistemas muestreados

11.6.1. Efecto del período de muestreo

11.6.2. Sistemas muestreados y retardos

11.7. Problemas para el lector

12. Construcción de modelos

12.1. Introducción.

12.2. Modelos en tiempo continuo

12.2.1. Teoría básica

12.2.2. Modelos lineales

12.3. Modelos en tiempo discreto

12.3.1. Teoría básica

12.3.2. Modelos lineales

12.4. Problemas para el lector

A. Series de Taylor

A.1. Introducción.

A.2. Serie de Taylor en una variable

A.3. Serie de Taylor en dos variables

A.4. El caso general

A.5. Algunas reglas prácticas
B. Bases matemáticas para Ins series de Fourier

B.1. Introducción

....

B2. Espacios vectoriales y bases B.3. Convergencia de las series de Fourier

ortogoriales

..............

B.3.1. Sucesiones y series

B.3.2. Series de Fourier

C. La transformada de Fourier

C.1. Introducción.

C.2. Transformada de Fourier en tiempo continuo

C.2.1. Definición de la transformada

C.2.2. Propiedades.

C.3. Transformada de Fourier de tiempo discreto (TFTD)

C.3.1. Definición de la transformada

C.3.2. Propiedades.

C.4. La transformada rápida de Fourier

C.4.1. La transformada de Fourier discreta

C.4.2. El algoritmo de la FFT

D. La transformada de Laplace

D.1. Introducción.

D.2. Definición de la transformada

D.3. Propiedades

D.4. Descomposición en fracciones parciales

E. La transformada Zeta

E.1. Introducción.

E.2. Definición de la transformada

E.3. Propiedades

F. Matrices

F.1. Introducción.

F.2. Conceptos básicos

F.3. Determinante y rango de una matriz

F.4. Inversa de una matriz

F.4.1. Lema de inversión matricial

F.5. Autovalores y autovectores

F.5.1. Diagonalización y formas de Jordan

F.6. Normas de vectores y matrices

F.7. Tipos especiales de matrices

F.7.1. Matrices positivas

F.8. Valores singulares.

Referencias

Índice alfabético

Es frecuente escuchar en los encuentros técnico-científicos relacionados con el control automático o con el tratamiento de señales, que el campo de estudio de los sistemas lineales es un campo agotado, donde es difícil realizar aportaciones novedosas y de interés. Otro tanto se dice respecto a la posible publicación de monografias de tipo docente, en las que tan sólo las pequeñas variantes en el enfoque que los autores dan al tema representan alguna novedad frente a los mamerosos buenos libros de texto ya disponibles en el mercado.

Estando de acuerdo en lo básico de estas afirmaciones, el atractivo que, tanto desde el punto de vista investigador como del docente, tiene este campo de es tudio hace que se prodiguen los encuentros y aparezcan publicaciones dedicadas al tema

Los sistemas lineales son una abstracción teórica del comportamiento dinámi co de muchos sistemas reales en los que, con una aproximación aceptable, se puede aplicar el principio de linealidad, es decir, el de superposición y el de pro porcionalidad u homogeneidad. Aunque reconozcamos que los sistemas reales tienen un comportamiento más complejo, la asunción de linealidad en su repre sentación permite aplicar técnicas matemáticas de estudio y tratamiento muy potentes que nos facilitan su comprensión y simplifican su análisis y diseño.

La característica de linealidad, tan fructifera en el estudio de propiedades de múltiples operadores matemáticos, es también fundamental en el análisis del comportamiento de los sistemas dinámicos. En primer lugar, porque posibilita el estudio intrínseco del sistema, independientemente de la magnitud de las señales externas y de su aplicación conjunta, secuencial o aislada. En segundo lugar, porque permite caracterizar dicho comportamiento por un número reducido de parámetros, es decir, parametrizar las propiedades estáticas y dinámicas del sistema.

El estudio de los sistemas dinámicos, y en particular de los sistemas dinámi cos lineales, se puede plantear desde distintas perspectivas. Según el tipo de representación que se adopte, sea externa o interna, se trabaja con señales de entrada/salida o se incluyen también las de estado. En función de la repre sentación del tiempo que se utilice, continua o discreta, se tiene una distinta representación de las señales y de los sistemas. Dependiendo de la información que se considere de interés en las señales tratadas, se puede plantear um estudio en el dominio del tiempo o en el de la frecuencia, un análisis de las propiedades estocásticas de las mismas o el de la información aproximada que representan en el caso de variables borrosas

Lo que munca se debe dejar de tener presente es que el sistema fisico objeto de estudio es uno solo y que, con las técnicas de análisis que decidamos utilizar, somos capaces de representar, analizar, estudiar en fin, los aspectos parciales que del mismo nos interesan, si hien con un carácter aproximado. Por ello, en fundamental tener una visión integrada de las distintas perspectivas de análisis y representación de sistemas dinámicos, y ser capaces de explicitar las equiva lencias entre ellas para, en todo momento, tener una interpretación, siquiera se aproximada, del conjunto de propiedades del sistema que estemos estudiando En esta misma colección de libros monográficos, se ha presentado un trabajo

basado en la representación interna de los sistemas dinámicos. Ello indica que el tema es sumamente amplio y que se puede abordar desde una tinica perspec tiva si el objetivo es, básicamente, presentar una técnica concreta. También el estudio puede centrarse en aspectos parciales: representación, análisis, diseño u optimización del comportamiento de los sistemas. Un libro orientado a servir de base para un curso semestral para alumnos de ingeniería, debe asumir ciertas limitaciones en la materia a abarcar para que sea útil desde el punto de vista de la aplicabilidad, sin perder el rigor universitario requerido.

En esta monografia los autores han querido ofrecer una perspectiva conjunts, desde el punto de vista de señales y sistemas, aunque restringido a los sisternas lineales, y se han limitado a las etapas de representación y análisis de este tipo de sistemas dinámicos. En el análisis se combinan los sistemas y las señales, pre sentando un exhaustivo tratamiento de las señales deterministas y las distintas transformaciones básicas que permiten caracterizar sus propiedades y el paso de una representación a otra. Se dejan para otros textos tanto el tratamiento de señales y sistemas no deterministas como las técnicas y los problemas que se

plantean para el diseño de un determinado sistema. Entre sus muchas virtudes habría que destacar la interacción entre propiedades temporales y frecuenciales, el claro paralelismo entre sistemas y señales conti nuos y discretos, y entre representación externa e interna, las consideraciones energéticas y las limitaciones en el comportamiento dinámico que se pueden deducir a partir de estas representaciones.

El libro, formalmente, está muy bien escrito, y es de destacar igualmente la estructura que tienen todos los capítulos. Se comienza con ejemplos motivado res, introduciendo los nuevos conceptos, seguido de una formalización rigurosa y dirigiendo al lector interesado en mayores profundidades a la bibliografia es pecializada. El texto está plagado de ejemplos aclaratorios, antes y después de la formalización, siguiendo con unas claras conclusiones y la propuesta de una serie de problemas que, sin duda, permitirán afianzar los conceptos explicados. El apoyo en técnicas muméricas y en paquetes comerciales, fácilmente accesi bles en el entorno universitario, aumenta el atractivo de esta monografía con un indudable valor docente.

Conociendo personalmente al equipo autor del texto, no dudo en que to dos los detalles habrán sido cuidados y que, ante cualquier duda o aclaración. responderán al lector interesado con acertadas respuestas con propuestas de corrección o profundización. Debemos pues felicitarnos por disponer de este volumen en la colección de textos que desde CEA estamos propiciando con el apoyo de Pearson

Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicación