Ecuaciones Diferenciales Ordinarias /

Contenido

Prólogo

Simbología.

Capítulo 1. Algunos métodos de integración.

1.1 Introducción, 13

1.2 Ecuaciones de primer orden con variables separables, 14

1.3 Ecuaciones exactas y lineales, 16

1.4 Ecuaciones homogéneas, 18

1.5 Algunas ecuaciones de segundo orden, 20

1.6 Resolución de ecuaciones diferenciales por medio de la trans-formada de Laplace, 23

1.7 Solución aproximada por el método de Picard, 25

1.8 Un método gráfico, 29

1.9 Aplicaciones, 30

Capítulo 2. Conceptos y resultados básicos

2.1 Introducción, 35

2.2 Definiciones, 35

2.3 Ecuaciones normales, 37

2.4 Ecuaciones autónomas y no autónomas, 38

2.5 Un teorema de existencia y unicidad, 39

2.6 Interpretación geométrica del teorema anterior, 43

2.7 Prolongación de la solución, 43

2.8 Comentarios sobre la existencia y unicidad de soluciones, 44

2.9 Continuidad de las soluciones, 44

2.10 Otras propiedades de las soluciones, 47

Capítulo 3. Ecuaciones lineales

3.1 Introducción, 51

3.2 Teoría general de ecuaciones lineales, 52

Prólogo

La teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias nace con los trabajos de Newton y desde entonces hasta épocas relativamente recientes la única preocupación de quienes la cultivaron fue el aspecto cuantitativo, esto es, la resolución numérica. Son los trabajos de Lagrange y Cauchy los que primero, por un lado, abren nuevos horizontes de estudio y, por otro, comien-zan a fundamentar de manera sólida la teoría. Estos nuevos senderos se ven definitivamente iluminados por el trabajo de dos matemáticos: Poincaré y Liapunov. La obra pertinente de Poincaré se encuentra en muchas de sus publicaciones, entre las cuales destaca el libro Les méthodes nouvelles de la mecanique celeste. Liapunov dio a conocer sus ideas en un trabajo definitivo: Theorie generale de la stabilité de mouvement. Ambas obras ven la luz en las postrimerías del siglo XIX. Sin embargo, han de pasar más de 30 años para que aparezca un impulso generalizado por parte de los estudiosos de la matemática y ciencias afines, Para darse cuenta de la magnitud de este nuevo impulso los interesados deben ver el libro de Cesari [2] que contiene la bibliografía más completa sobre el tema registrada hasta ahora.

Al escribir el libro, los autores quisieron presentar una parte del amplio panorama moderno de esta teoría teniendo en mente un gran sector del público interesado en diversos ángulos del tema. Es por lo tanto una obra introductoria que evita la investigación exclusiva de un tema restringido y trata de presentar una visión general que dé idea de la variedad de impli-caciones y aplicaciones de la teoría. En lo posible, se ha evitado la costum-bre de presentar temas en forma totalmente desligada de sus orígenes, motivaciones y aplicaciones para no crear un vacío intelectual en quienes por vez primera los estudian,

El libro es razonablemente elemental, en el sentido de que basta conocer lo que usualmente se llama cálculo avanzado y, cuando sea necesario, recurrir a los apéndices para comprender todo el material presentado.

Aparte de ser una obra de referencia, el libro puede emplearse de maneras diversas. Con los capítulos 2, 3, 4, 6 y 7 puede planearse un curso para el cuarto año de la licenciatura en matemáticas o para el primer año

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