Selección de problemas resueltos-Campos Vectoriales /

Contenido

CAPITULO 1.

CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

1.1 Definiciones, 7

1.2 Campos escalares y superficies de nivel,

8 1.3 Campos vectoriales y líneas de campo, 13

CAPITULO 2.

LA INTEGRACION DE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

2.1 Integrales de línea, 19

2.2 Integrales de superficie, 28

2.3 Integrales de volumen, 40

CAPITULO 3. EL OPERADOR NABLA. FORMULAS E IDENTIDADES

3.1 Operaciones aisladas, 45

3.2 Operaciones sucesivas, 51

3.3 Lista de identidades, 56

CAPITULO 4. TEOREMAS DE INTEGRALES

7

19

45

59

4.1 El teorema de Green en el plano xy, 59

4.2 El teorema de la divergencia de Gauss, 63

4.3 El teorema de Stokes, 73

4.4 Identidades de la integral de Green, 79

5
6/ contenido

CAPITULO 5. COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES

5.1 Coordenadas curvilíneas, 83

5.2 Operaciones de Nabla, 89

CAPITULO 6. TENSORES CARTESIANOS

6.1 Vectores y transformaciones ortogonales, 95

6.2 Tensores cartesianos, 102

6.3 Campos tensoriales cartesianos, 106

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

109

INDICE ALFABETICO

Campos escalares y vectoriales

1.1 Definiciones Un escalar es una cantidad especificada por un solo número real, como la masa de una partícula; los mismos nú-meros reales son escalares. Si un escalar (x, y, z) toma un valor definido en cada punto (x, y, z) en una región del espacio, que-da definido un campo escalar en dicha región. Ejemplos de campos escalares son: (i) la presión en la atmósfera, (ii) la densidad dentro de la Tierra, (iii) el potencial de gravitación en el espacio. Se supone implícitamente que el valor de en cualquier punto no depende de la elección del sistema rectangular de coordenadas para desig-nar los puntos.

Una superficie de nivel de un campo escalar (x, y, z) es cual-quier superficie de la forma constante, Por cada punto (e o 2) en la región pasa una superficie de nivel, a saber, la superficie (x, y, z) = (xo, Yo, zo), y si es función de valor único de x, y, z, tan sólo habrá una superficie que pase por cada punto.

Un vector es una cantidad especificada por un número real posi-tivo (la magnitud) y una dirección, como la velocidad de una par-tícula. Se denota con el tipo de negritas (F, a, etc.) y puede repre-sentarse mediante un segmento de recta dirigido AB o por tres números reales, como sus componentes relativas a un determinado sistema de ejes rectangulares. Tales componentes dependen de la orientación de los ejes en una forma que se explicará en el capítulo 6.

(Se supone que el lector está familiarizado con el álgebra ordinaria de vectores.) Cuando se define un vector F(x, y, z) en cada punto (x, y, z) en una región, entonces existe un campo vectorial en la región. Ejemplos de campos vectoriales son: (i) la velocidad en cualquier punto de un fluido en movimiento, (ii) la fuerza gravita-

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