Matrices y espacios vectoriales /

Contenido

CAPITULO 1. EL ALGEBRA DE LAS MATRICES

1.1 Introducción, 7

1.2 Adición de matrices, 7

1.3 Multiplicación de matrices, 8

1.4 Multiplicación de una matriz por un escalar, 13

1.5 La partición de una matriz, 14

1.6 Trasposición de matrices, 16

1.7 Matrices complejas, 20

CAPITULO 2. EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

2.1 Permutaciones, 23

2.2 La definición de un determinante, 24

2.3 Propiedades de un determinante, 25

2.4 Cofactores y la inversa de una matriz cuadrada, 29

CAPITULO 3. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ

3.1 Transformaciones elementales y ecuaciones lineales, 39

3.2 El rango de una matriz, 42

3.3 Matrices elementales, 46

5

7

23

39
6

contenido

CAPITULO 4. TRANSFORMACIONES LINEALES

4.1 Valores propios y vectores propios, 53

4.2 Matrices ortogonales y unitarias, 59

4.3 Transformaciones ortogonales de formas cuadráticas reales, 64

4.4 Polinomios matriciales, 66

53

obiralne

CAPITULO 5. FORMAS CUADRATICAS REALES

5.1 El rango y el índice de una forma cuadrática real, 73

5.2 Reducción simultánea de formas cuadráticas reales, 78

CAPITULO 6. ESPACIOS VECTORIALES

6.1 Definición, 85

6.2 Dependencia lineal, 87

6.3 Mapeos lineales, 91

6.4 Operadores lineales, 94

6.5 Espacios vectoriales euclidianos, 98

6.6 Espacios vectoriales unitarios, 101

6.7 La forma normal de Jordan, 104

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

73

85

109

CAPITULO 1

El álgebra de las matrices

1.1 Introducción Una matriz es un arreglo rectangular de núme-ros, como

2 [][] -2

La primera matriz tiene 2 filas o renglones y 3 columnas, y decimos que es de orden 2 por 3. Esto lo escribimos como 2 x 3, sin significar multiplicación alguna! El orden de la segunda matriz es 2 X 2; constituye un ejemplo de matriz cuadrada.

Usaremos una letra mayúscula, como A, para representar una matriz, y denotaremos por as; el elemento situado en el renglón i-ésimo y la columna j-ésima de A. A se denota también por [4] Supondremos que los números aty son reales o complejos; en corres-pondencia con esto, las matrices se calificarán como reales o comple-jas. Las matrices que tan sólo poseen un renglón o una columna se conocen como vectores renglón o columna, respectivamente. Se dice que dos matrices [411] y [b] son iguales si, y sólo si, son del mismo orden y ay by para todos los valores de i y j.

Las matrices se usan a fin de simplificar los cálculos necesarios, por ejemplo, para resolver ecuaciones lineales o para efectuar cambios lineales de coordenadas. En esta aplicación es preciso definir opera-ciones de adición y multiplicación de matrices.

12 Adición de matrices Se define la suma de dos matrices sólo cuando tales matrices son del mismo orden. La definición es [4] + +[b]-[a+biy].

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