Variable compleja /

RABAJOS ÉMICOS

DE INFORMACIÓN

TABLA DE MATERIAS

Capitulo 1

NUMEROS COMPLEJOS

1

Pigina

El sistema numérico real. Representación gráfica de los milmeros reales. El sis tema de los mimeros complejos. Operaciones fundamentales cum números enm plejos. Valor absoluto. Fundamentos axiomáticos del sistema de nimeros cam plejos. Representación gráfica de números complejos. Forma polar de númer complejos. El teorema de De Moivre. Raices de números complejos. Formula de Euler. Ecuaciones polinomias. Las raiens n-ésimas de la unidad. Interpreta-ción vectorial de números complejos. Representación esférica de números en plajos. Proyección estereográfica. Producto escalar y vectorial. Coordenadas conjugadas complejas. Conjuntos de puntos.

Capítulo 2

FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD

Variables y funciones. Punciones univocas y multivocas. Funciones inverses Trasformaciones. Coordenadas curviliness. Las funciones elementales. Puntos de ramificación y ramas. Superficies de Riemann. Limites. Teoremas sobre limites. Infinito. Continuidad. Continuidad en una región. Teoremas sobra continuidad. Continuidad uniforme. Sucesiones. Límite de una sucesión. Teo-remna sobre límites de sucesiones. Series infinitas.

Capítulo 3

DIFERENCIACION COMPLEJA Y LAS ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN

Derivadas. Funciones analiticas. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones armónicas. Interpretación geométrica de la derivada. Diferenciales. Reglas de diferenciación. Derivadas de funciones elementales. Derivadas de orden superior. La regla de L'Hôpital. Puntos singulares. Familias ortogonales. Curvas. Aplica-clones a la geometría y la mecánica. Operadores diferenciales complejos. Gra-diente, divergencia, rotor y laplaciano. Algunas identidades donde intervienen gradiente, rotor y divergencia.

Capítulo 4

INTEGRACION COMPLEJA Y TEOREMA DE CAUCHY

Integrales complejas de línea. Integrales reales de línea. Conexión entre integrales real y compleja de linea. Propiedades de las integrales. Cambio de variables. Regiones simple y múltiplemente conexas. Teorema de la curva de Jordan. Convención relativa a la orientación de caminos cerrados. Teorema de Green en el plano. Forma compleja del teorema de Green. Teorema de Cauchy. El teorema de Cauchy-Goursat. Teorema de Morera. Integrales indefinidas. Integrales de funciones especiales. Algunaa consecuencias del teorema de Cauchy.

64

93

Capítulo 5

FORMULAS INTEGRALES DE CAUCHY Y TEOREMAS RELACIONADOS

119

Fórmulas integrales de Cauchy. Algunos teoremas importantes. Teorema de Morera. Desigualdad de Cauchy. Teorema de Liouville. Teorema fundamental del algebra. Teorema del valor medio de Gauas. Teorema del módulo máximo. Teorema del módulo mínimo. El teorema del argumento. Teorema de Rouché Fórmulas integrales de Poisson para un círculo. Fórmulas integrales de Poison para un semi-plano.
TABLA DE MATERIAN

Capitulo 6

Página

SERIES INFINITAS. SERIES DE TAYLOR Y DE LAURENT 149

Sucesiones de funciones. Series de funciones. Convergencia shwoluta. Conver gencia uniforme de sucesiones y series. Series de potencias. Algumon Sens importantes. Teoremas generales. Teoremaa sobre convergencia absoluta. Cr terion speciales para convergencia. Teoremas sobre convergencia uniforme. Teoremas sobre series de potencias. Teorema de Taylor. Algunas serins expe ciales. Teorema de Laurent. Clasificación de singularidades. Funciones entera. Funciones meromorfas. Desarrollo de Lagrange. Prolongación analitica.

Capitulo 7

EL TEOREMA DEL RESIDUO. CALCULO DE INTEGRALES Y SERIES

173

Residuos. Cálculo de residuna. El teorema del residuo. Cálculo de integrales definidas. Teoremas especiales que se utilizan en el cálculo de integrales. El valor principal de Cauchy para integrales. Diferenciación bajo el signo integral. Regla de Leibnitz. Suma de series. Teorema del desarrollo de Mittag-Leffler. Algunos desarrollos especiales.

Capítulo 8

APLICACION CONFORME

Trasformaciones o aplicaciones. Jacobiano de una trasformación. Aplicaciones complejas. Aplicación conforme. El teorema de la aplicación de Riemann. Pan-tos fijos o invariantes de una trasformación. Algunas trasformaciones generales. Trasformaciones sucesivaa. La trasformación lineal. La trasformación bilineal o racional. Aplicación de un semi-plano sobre un circulo. La trasformación de Christoffel-Schwarz. Trasformaciones de fronteras en forma paramétrica. Algu-nas aplicaciones especiales.

201

Capitulo 9

APLICACIONES FISICAS DE LA APLICACION CONFORME 233

Problemas de frontera. Funciones conjugadas y armónicas. Problemas de Dirichlet y Neumann. El problema de Dirichlet para el circulo unidad. Fórmu la de Poisson. El problema de Dirichlet para un semi-plano. Soluciones a los problemas de Dirichlet y Neumann por aplicación conforme. Aplicaciones a flujo de fluidos. Suposiciones básicas. El potencial complejo. Lineas y trayec torias equipotenciales. Fuentes y sumideros. Algunos flujos especiales. Flujos alrededor de obstáculos. Teorema de Bernoulli. Teoremas de Blasius. Aplica-ciones a electrostática. Ley de Coulomb. Intensidad de campo eléctrico. Poten-cial electrostático. Teorema de Gauss. El potencial complejo electrostático. Linea de cargas. Conductores. Capacitancia. Aplicaciones a flujo de calor. Flujo de calor. La temperatura compleja.

Capítulo 10

TEMAS ESPECIALES

Prolongación analitica Principio de reflexión de Schwarz. Productos infinitos. Convergencia absoluta, condicional y uniforme de productos infinitos. Algunos teoremas importantes sobre productos infinitos. Teorema de Weierstrass para productos infinitos. Algunos productos infinitos especiales. La función gamma Propiedades de la función gamma. La función beta. Ecuaciones diferenciales. Solución de ecuaciones diferenciales por integrales de contorno. Funciones de Bessel. Funciones de Legendre. La función hipergeométrica. La función seta Series asintéticas. El método del punto silla. Desarrollos asintéticos especiales. Funciones elipticas.

Prólogo

La teoría de funciones de una variable compleja, llamada también por brevedad variable compleja o análisis complejo, es una de las más bellas, así como de las más útiles ramas de las matemáticas. Aunque nació en una atmósfera de misterio y desconfianza, como lo indican los términos "imaginario" y "complejo" que subsisten en la literatura contemporánea sobre la materia, se colocó sobre una base sólida en el siglo XIX, gracias a los esfuerzos de Cauchy. Riemann, Weierstrass, Gauss y otros grandes matemáticos.

Hoy se reconoce esta materia como parte esencial de la formación matemática de inge-nieros, fisicos, matemáticos y otros científicos. Desde el punto de vista teórico, esto se debe a que muchos conceptos matemáticos se aclaran y unifican cuando se examinan a la luz de la teoría de variable compleja. Desde el punto de vista práctico, la teoría es de gran valor para la solución de problemas de flujo de calor, teoria potencial, mecánica de fluidos, teoría elec-tromagnética, aerodinámica, elasticidad y muchos otros campos de la ciencia y la ingeniería,

Este libro se ha preparado como suplemento para cualquiera de los textos corrientes, o como texto para un curso formal de la teoría de variable compleja y sus aplicaciones. Tam-bién será de gran valor para los que siguen cursos de matemáticas, física, aerodinámica, elas-ticidad o cualquier otro de los innumerables campos en los cuales se utilizan los métodos de la variable compleja.

Cada capítulo empieza con enunciados claros de las correspondientes definiciones, prin-cipios y teoremas, junto con ilustraciones y otros materiales descriptivos. A esto siguen grupos graduados de problemas resueltos y propuestos. Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, y arrojan plena luz sobre aquellos puntos sutiles sin cuya explicación el estudiante se siente inseguro, y constituyen una repetición de los principios básicos, tan vitales para un aprendizaje efectivo. En los problemas resueltos se incluyen muchas de-mostraciones de teoremas y derivaciones de fórmulas.

El gran número de problemas propuestos, con sus respectivas respuestas, sirven como un repaso completo de cada capítulo.

Entre los temas tratados se encuentran: el álgebra y la geometría de números complejos; diferenciación compleja y cálculo integral; series infinitas, incluyendo las de Taylor y Laurent; In teoría de residuos con aplicaciones a la evaluación de integrales y series, y aplicación con-forme, con ejemplos tomados de varios campos. Una novedad adicional es el capítulo sobre temas especiales que será de utilidad como introducción a estudios más avanzados.

En este libro se ha incluido mucho más material del que generalmente se puede ver en un primer curso a fin de hacer el libro más flexible, más útil como obra de consulta y para estimular más interés en estos temas,

Aprovecho la oportunidad para agradecer al personal de la Schaum Publishing Company su magnífica colaboración.

M. R. SPIEGEL

Ingeniería Industrial